Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53013 / 21786
↖ ↑ ↗
← N 51.529252°
E111.209107°		 ← 379.98 m → N 51.529252°
E111.214600°		 →
↑
380.03 m
↓
↑
380.03 m
↓
N 51.525834°
E111.209107°		 ← 380.01 m →
144 409 m²		 N 51.525834°
E111.214600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808921813964844 y=0.332435607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808921813964844 × 216)
    floor (0.808921813964844 × 65536)
    floor (53013.5)     		tx = 53013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332435607910156 × 216)
    floor (0.332435607910156 × 65536)
    floor (21786.5)     		ty = 21786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53013 / 21786 ti = "16/53013/21786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53013/21786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53013 ÷ 216
    53013 ÷ 65536     		x = 0.808914184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21786 ÷ 216
    21786 ÷ 65536     		y = 0.332427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808914184570312 × 2 - 1) × π
    0.617828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94096507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332427978515625 × 2 - 1) × π
    0.33514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05288606325491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94096507} λ = 1.94096507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05288606325491))-π/2
    2×atan(2.86591039261189)-π/2
    2×1.23507571200599-π/2
    2.47015142401199-1.57079632675     		φ = 0.89935510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94096507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.209107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89935510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.529252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53013 KachelY 21786 1.94096507 0.89935510 111.209107 51.529252
    Oben rechts KachelX + 1 53014 KachelY 21786 1.94106094 0.89935510 111.214600 51.529252
    Unten links KachelX 53013 KachelY + 1 21787 1.94096507 0.89929545 111.209107 51.525834
    Unten rechts KachelX + 1 53014 KachelY + 1 21787 1.94106094 0.89929545 111.214600 51.525834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89935510-0.89929545) × R
    5.96499999999667e-05 × 6371000     		dl = 380.030149999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89935510-0.89929545) × R
    5.96499999999667e-05 × 6371000     		dr = 380.030149999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94096507-1.94106094) × cos(0.89935510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622115006497119 × 6371000     		do = 379.980237501902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94096507-1.94106094) × cos(0.89929545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622161706918485 × 6371000     		du = 380.008761548127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89935510)-sin(0.89929545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622115006497119-0.622161706918485)×R²
    abs(1.94106094-1.94096507)×4.67004213666744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67004213666744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67004213666744e-05×40589641000000     		ar = 144409.366696416m²