Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53013 / 102187
↖ ↑ ↗
← S 70.417476°
W 34.395447°		 ← 102.35 m → S 70.417476°
W 34.392700°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
S 70.418397°
W 34.395447°		 ← 102.34 m →
10 478 m²		 S 70.418397°
W 34.392700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404460906982422 y=0.779628753662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404460906982422 × 217)
    floor (0.404460906982422 × 131072)
    floor (53013.5)     		tx = 53013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779628753662109 × 217)
    floor (0.779628753662109 × 131072)
    floor (102187.5)     		ty = 102187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53013 / 102187 ti = "17/53013/102187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53013/102187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53013 ÷ 217
    53013 ÷ 131072     		x = 0.404457092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102187 ÷ 217
    102187 ÷ 131072     		y = 0.779624938964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404457092285156 × 2 - 1) × π
    -0.191085815429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.60031379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779624938964844 × 2 - 1) × π
    -0.559249877929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.75693530797468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60031379} λ = -0.60031379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75693530797468))-π/2
    2×atan(0.172572937122902)-π/2
    2×0.170889757148513-π/2
    0.341779514297025-1.57079632675     		φ = -1.22901681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60031379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.395447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22901681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.417476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53013 KachelY 102187 -0.60031379 -1.22901681 -34.395447 -70.417476
    Oben rechts KachelX + 1 53014 KachelY 102187 -0.60026586 -1.22901681 -34.392700 -70.417476
    Unten links KachelX 53013 KachelY + 1 102188 -0.60031379 -1.22903288 -34.395447 -70.418397
    Unten rechts KachelX + 1 53014 KachelY + 1 102188 -0.60026586 -1.22903288 -34.392700 -70.418397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22901681--1.22903288) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22901681--1.22903288) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60031379--0.60026586) × cos(-1.22901681) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.335164210992843 × 6371000     		do = 102.346423851949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60031379--0.60026586) × cos(-1.22903288) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.33514907044275 × 6371000     		du = 102.341800502837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22901681)-sin(-1.22903288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335164210992843-0.33514907044275)×R²
    abs(-0.60026586--0.60031379)×1.51405500936619e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51405500936619e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51405500936619e-05×40589641000000     		ar = 10478.1918228315m²