Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53011 / 21757
↖ ↑ ↗
← N 51.628248°
E111.198120°		 ← 379.15 m → N 51.628248°
E111.203613°		 →
↑
379.20 m
↓
↑
379.20 m
↓
N 51.624837°
E111.198120°		 ← 379.18 m →
143 781 m²		 N 51.624837°
E111.203613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808891296386719 y=0.331993103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808891296386719 × 216)
    floor (0.808891296386719 × 65536)
    floor (53011.5)     		tx = 53011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331993103027344 × 216)
    floor (0.331993103027344 × 65536)
    floor (21757.5)     		ty = 21757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53011 / 21757 ti = "16/53011/21757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53011/21757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53011 ÷ 216
    53011 ÷ 65536     		x = 0.808883666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21757 ÷ 216
    21757 ÷ 65536     		y = 0.331985473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808883666992188 × 2 - 1) × π
    0.617767333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94077332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331985473632812 × 2 - 1) × π
    0.336029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05566640343288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94077332} λ = 1.94077332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05566640343288))-π/2
    2×atan(2.87388968585752)-π/2
    2×1.23593961663738-π/2
    2.47187923327476-1.57079632675     		φ = 0.90108291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94077332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.198120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90108291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.628248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53011 KachelY 21757 1.94077332 0.90108291 111.198120 51.628248
    Oben rechts KachelX + 1 53012 KachelY 21757 1.94086919 0.90108291 111.203613 51.628248
    Unten links KachelX 53011 KachelY + 1 21758 1.94077332 0.90102339 111.198120 51.624837
    Unten rechts KachelX + 1 53012 KachelY + 1 21758 1.94086919 0.90102339 111.203613 51.624837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90108291-0.90102339) × R
    5.95199999999796e-05 × 6371000     		dl = 379.20191999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90108291-0.90102339) × R
    5.95199999999796e-05 × 6371000     		dr = 379.20191999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94077332-1.94086919) × cos(0.90108291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620761331413628 × 6371000     		do = 379.153429316353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94077332-1.94086919) × cos(0.90102339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6208079939701 × 6371000     		du = 379.181930235163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90108291)-sin(0.90102339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620761331413628-0.6208079939701)×R²
    abs(1.94086919-1.94077332)×4.66625564722323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66625564722323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66625564722323e-05×40589641000000     		ar = 143781.112215417m²