Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53010 / 50030
↖ ↑ ↗
← S 68.362750°
E111.192627°		 ← 225.24 m → S 68.362750°
E111.198120°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
S 68.364776°
E111.192627°		 ← 225.22 m →
50 725 m²		 S 68.364776°
E111.198120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808876037597656 y=0.763404846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808876037597656 × 216)
    floor (0.808876037597656 × 65536)
    floor (53010.5)     		tx = 53010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763404846191406 × 216)
    floor (0.763404846191406 × 65536)
    floor (50030.5)     		ty = 50030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53010 / 50030 ti = "16/53010/50030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53010/50030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53010 ÷ 216
    53010 ÷ 65536     		x = 0.808868408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50030 ÷ 216
    50030 ÷ 65536     		y = 0.763397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808868408203125 × 2 - 1) × π
    0.61773681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94067744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.52679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65497352248282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94067744} λ = 1.94067744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65497352248282))-π/2
    2×atan(0.191097115415637)-π/2
    2×0.188820622628522-π/2
    0.377641245257045-1.57079632675     		φ = -1.19315508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94067744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.192627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19315508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.362750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53010 KachelY 50030 1.94067744 -1.19315508 111.192627 -68.362750
    Oben rechts KachelX + 1 53011 KachelY 50030 1.94077332 -1.19315508 111.198120 -68.362750
    Unten links KachelX 53010 KachelY + 1 50031 1.94067744 -1.19319043 111.192627 -68.364776
    Unten rechts KachelX + 1 53011 KachelY + 1 50031 1.94077332 -1.19319043 111.198120 -68.364776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19315508--1.19319043) × R
    3.53500000001006e-05 × 6371000     		dl = 225.214850000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19315508--1.19319043) × R
    3.53500000001006e-05 × 6371000     		dr = 225.214850000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94067744-1.94077332) × cos(-1.19315508) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368728948910838 × 6371000     		do = 225.238624160882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94067744-1.94077332) × cos(-1.19319043) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368696089548881 × 6371000     		du = 225.218551970999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19315508)-sin(-1.19319043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368728948910838-0.368696089548881)×R²
    abs(1.94077332-1.94067744)×3.28593619576267e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28593619576267e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28593619576267e-05×40589641000000     		ar = 50724.8226823067m²