Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53007 / 22190
↖ ↑ ↗
← N 50.127622°
E111.176147°		 ← 391.60 m → N 50.127622°
E111.181641°		 →
↑
391.63 m
↓
↑
391.63 m
↓
N 50.124100°
E111.176147°		 ← 391.63 m →
153 368 m²		 N 50.124100°
E111.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808830261230469 y=0.338600158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808830261230469 × 216)
    floor (0.808830261230469 × 65536)
    floor (53007.5)     		tx = 53007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338600158691406 × 216)
    floor (0.338600158691406 × 65536)
    floor (22190.5)     		ty = 22190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53007 / 22190 ti = "16/53007/22190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53007/22190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53007 ÷ 216
    53007 ÷ 65536     		x = 0.808822631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22190 ÷ 216
    22190 ÷ 65536     		y = 0.338592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808822631835938 × 2 - 1) × π
    0.617645263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94038982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338592529296875 × 2 - 1) × π
    0.32281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01415304836191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94038982} λ = 1.94038982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01415304836191))-π/2
    2×atan(2.75702733943048)-π/2
    2×1.2228441860647-π/2
    2.44568837212941-1.57079632675     		φ = 0.87489205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94038982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.176147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87489205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.127622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53007 KachelY 22190 1.94038982 0.87489205 111.176147 50.127622
    Oben rechts KachelX + 1 53008 KachelY 22190 1.94048570 0.87489205 111.181641 50.127622
    Unten links KachelX 53007 KachelY + 1 22191 1.94038982 0.87483058 111.176147 50.124100
    Unten rechts KachelX + 1 53008 KachelY + 1 22191 1.94048570 0.87483058 111.181641 50.124100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87489205-0.87483058) × R
    6.14700000000079e-05 × 6371000     		dl = 391.62537000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87489205-0.87483058) × R
    6.14700000000079e-05 × 6371000     		dr = 391.62537000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94038982-1.94048570) × cos(0.87489205) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.641079710749398 × 6371000     		do = 391.604490108985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94038982-1.94048570) × cos(0.87483058) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.641126886183542 × 6371000     		du = 391.633307292751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87489205)-sin(0.87483058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641079710749398-0.641126886183542)×R²
    abs(1.94048570-1.94038982)×4.7175434144231e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7175434144231e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7175434144231e-05×40589641000000     		ar = 153367.896151015m²