Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53006 / 21756
↖ ↑ ↗
← N 51.631657°
E111.170654°		 ← 379.12 m → N 51.631657°
E111.176147°		 →
↑
379.14 m
↓
↑
379.14 m
↓
N 51.628248°
E111.170654°		 ← 379.15 m →
143 746 m²		 N 51.628248°
E111.176147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808815002441406 y=0.331977844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808815002441406 × 216)
    floor (0.808815002441406 × 65536)
    floor (53006.5)     		tx = 53006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331977844238281 × 216)
    floor (0.331977844238281 × 65536)
    floor (21756.5)     		ty = 21756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53006 / 21756 ti = "16/53006/21756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53006/21756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53006 ÷ 216
    53006 ÷ 65536     		x = 0.808807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21756 ÷ 216
    21756 ÷ 65536     		y = 0.33197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808807373046875 × 2 - 1) × π
    0.61761474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94029395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33197021484375 × 2 - 1) × π
    0.3360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05576227723212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94029395} λ = 1.94029395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05576227723212))-π/2
    2×atan(2.87416522978881)-π/2
    2×1.2359693728928-π/2
    2.4719387457856-1.57079632675     		φ = 0.90114242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94029395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.170654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90114242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.631657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53006 KachelY 21756 1.94029395 0.90114242 111.170654 51.631657
    Oben rechts KachelX + 1 53007 KachelY 21756 1.94038982 0.90114242 111.176147 51.631657
    Unten links KachelX 53006 KachelY + 1 21757 1.94029395 0.90108291 111.170654 51.628248
    Unten rechts KachelX + 1 53007 KachelY + 1 21757 1.94038982 0.90108291 111.176147 51.628248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90114242-0.90108291) × R
    5.95100000000404e-05 × 6371000     		dl = 379.138210000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90114242-0.90108291) × R
    5.95100000000404e-05 × 6371000     		dr = 379.138210000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94029395-1.94038982) × cos(0.90114242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620714674498393 × 6371000     		do = 379.124931843141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94029395-1.94038982) × cos(0.90108291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620761331413628 × 6371000     		du = 379.153429316353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90114242)-sin(0.90108291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620714674498393-0.620761331413628)×R²
    abs(1.94038982-1.94029395)×4.66569152348661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66569152348661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66569152348661e-05×40589641000000     		ar = 143746.150308272m²