Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53006 / 102206
↖ ↑ ↗
← S 70.434959°
W 34.414673°		 ← 102.26 m → S 70.434959°
W 34.411927°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 70.435879°
W 34.414673°		 ← 102.25 m →
10 456 m²		 S 70.435879°
W 34.411927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404407501220703 y=0.779773712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404407501220703 × 217)
    floor (0.404407501220703 × 131072)
    floor (53006.5)     		tx = 53006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779773712158203 × 217)
    floor (0.779773712158203 × 131072)
    floor (102206.5)     		ty = 102206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53006 / 102206 ti = "17/53006/102206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53006/102206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53006 ÷ 217
    53006 ÷ 131072     		x = 0.404403686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102206 ÷ 217
    102206 ÷ 131072     		y = 0.779769897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404403686523438 × 2 - 1) × π
    -0.191192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60064935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.559539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75784610906746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60064935} λ = -0.60064935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75784610906746))-π/2
    2×atan(0.172415829061144)-π/2
    2×0.170737188657544-π/2
    0.341474377315088-1.57079632675     		φ = -1.22932195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60064935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.414673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22932195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.434959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53006 KachelY 102206 -0.60064935 -1.22932195 -34.414673 -70.434959
    Oben rechts KachelX + 1 53007 KachelY 102206 -0.60060142 -1.22932195 -34.411927 -70.434959
    Unten links KachelX 53006 KachelY + 1 102207 -0.60064935 -1.22933800 -34.414673 -70.435879
    Unten rechts KachelX + 1 53007 KachelY + 1 102207 -0.60060142 -1.22933800 -34.411927 -70.435879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22932195--1.22933800) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dl = 102.254549999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22932195--1.22933800) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dr = 102.254549999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60064935--0.60060142) × cos(-1.22932195) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.334876704774489 × 6371000     		do = 102.258630369474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60064935--0.60060142) × cos(-1.22933800) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.334861581426973 × 6371000     		du = 102.254012273376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22932195)-sin(-1.22933800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334876704774489-0.334861581426973)×R²
    abs(-0.60060142--0.60064935)×1.51233475160217e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51233475160217e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51233475160217e-05×40589641000000     		ar = 10456.1741214704m²