Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53005 / 21755
↖ ↑ ↗
← N 51.635067°
E111.165161°		 ← 379.10 m → N 51.635067°
E111.170654°		 →
↑
379.14 m
↓
↑
379.14 m
↓
N 51.631657°
E111.165161°		 ← 379.12 m →
143 735 m²		 N 51.631657°
E111.170654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808799743652344 y=0.331962585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808799743652344 × 216)
    floor (0.808799743652344 × 65536)
    floor (53005.5)     		tx = 53005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331962585449219 × 216)
    floor (0.331962585449219 × 65536)
    floor (21755.5)     		ty = 21755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53005 / 21755 ti = "16/53005/21755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53005/21755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53005 ÷ 216
    53005 ÷ 65536     		x = 0.808792114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21755 ÷ 216
    21755 ÷ 65536     		y = 0.331954956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808792114257812 × 2 - 1) × π
    0.617584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94019808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331954956054688 × 2 - 1) × π
    0.336090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05585815103136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94019808} λ = 1.94019808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05585815103136))-π/2
    2×atan(2.87444080013882)-π/2
    2×1.23599912691157-π/2
    2.47199825382313-1.57079632675     		φ = 0.90120193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94019808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.165161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90120193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.635067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53005 KachelY 21755 1.94019808 0.90120193 111.165161 51.635067
    Oben rechts KachelX + 1 53006 KachelY 21755 1.94029395 0.90120193 111.170654 51.635067
    Unten links KachelX 53005 KachelY + 1 21756 1.94019808 0.90114242 111.165161 51.631657
    Unten rechts KachelX + 1 53006 KachelY + 1 21756 1.94029395 0.90114242 111.170654 51.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90120193-0.90114242) × R
    5.95100000000404e-05 × 6371000     		dl = 379.138210000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90120193-0.90114242) × R
    5.95100000000404e-05 × 6371000     		dr = 379.138210000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94019808-1.94029395) × cos(0.90120193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620668015384935 × 6371000     		do = 379.096433027282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94019808-1.94029395) × cos(0.90114242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620714674498393 × 6371000     		du = 379.124931843141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90120193)-sin(0.90114242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620668015384935-0.620714674498393)×R²
    abs(1.94029395-1.94019808)×4.66591134585803e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66591134585803e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66591134585803e-05×40589641000000     		ar = 143735.345572976m²