Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53004 / 26348
↖ ↑ ↗
← N 33.229498°
E111.159668°		 ← 510.97 m → N 33.229498°
E111.165161°		 →
↑
510.95 m
↓
↑
510.95 m
↓
N 33.224903°
E111.159668°		 ← 510.99 m →
261 087 m²		 N 33.224903°
E111.165161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808784484863281 y=0.402046203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808784484863281 × 216)
    floor (0.808784484863281 × 65536)
    floor (53004.5)     		tx = 53004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402046203613281 × 216)
    floor (0.402046203613281 × 65536)
    floor (26348.5)     		ty = 26348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53004 / 26348 ti = "16/53004/26348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53004/26348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53004 ÷ 216
    53004 ÷ 65536     		x = 0.80877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26348 ÷ 216
    26348 ÷ 65536     		y = 0.40203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80877685546875 × 2 - 1) × π
    0.6175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94010220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40203857421875 × 2 - 1) × π
    0.1959228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.615509791121521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94010220} λ = 1.94010220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.615509791121521))-π/2
    2×atan(1.85059977846233)-π/2
    2×1.07538023906691-π/2
    2.15076047813381-1.57079632675     		φ = 0.57996415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94010220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57996415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.229498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53004 KachelY 26348 1.94010220 0.57996415 111.159668 33.229498
    Oben rechts KachelX + 1 53005 KachelY 26348 1.94019808 0.57996415 111.165161 33.229498
    Unten links KachelX 53004 KachelY + 1 26349 1.94010220 0.57988395 111.159668 33.224903
    Unten rechts KachelX + 1 53005 KachelY + 1 26349 1.94019808 0.57988395 111.165161 33.224903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57996415-0.57988395) × R
    8.01999999999747e-05 × 6371000     		dl = 510.954199999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57996415-0.57988395) × R
    8.01999999999747e-05 × 6371000     		dr = 510.954199999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94010220-1.94019808) × cos(0.57996415) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.836482296035796 × 6371000     		do = 510.966448526929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94010220-1.94019808) × cos(0.57988395) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.836526242460336 × 6371000     		du = 510.9932932654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57996415)-sin(0.57988395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836482296035796-0.836526242460336)×R²
    abs(1.94019808-1.94010220)×4.39464245391985e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.39464245391985e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.39464245391985e-05×40589641000000     		ar = 261087.31128949m²