Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53004 / 22132
↖ ↑ ↗
← N 50.331436°
E111.159668°		 ← 389.93 m → N 50.331436°
E111.165161°		 →
↑
389.91 m
↓
↑
389.91 m
↓
N 50.327930°
E111.159668°		 ← 389.96 m →
152 043 m²		 N 50.327930°
E111.165161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808784484863281 y=0.337715148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808784484863281 × 216)
    floor (0.808784484863281 × 65536)
    floor (53004.5)     		tx = 53004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337715148925781 × 216)
    floor (0.337715148925781 × 65536)
    floor (22132.5)     		ty = 22132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53004 / 22132 ti = "16/53004/22132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53004/22132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53004 ÷ 216
    53004 ÷ 65536     		x = 0.80877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22132 ÷ 216
    22132 ÷ 65536     		y = 0.33770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80877685546875 × 2 - 1) × π
    0.6175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94010220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33770751953125 × 2 - 1) × π
    0.3245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01971372871783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94010220} λ = 1.94010220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01971372871783))-π/2
    2×atan(2.77240099156607)-π/2
    2×1.22462280400366-π/2
    2.44924560800732-1.57079632675     		φ = 0.87844928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94010220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87844928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.331436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53004 KachelY 22132 1.94010220 0.87844928 111.159668 50.331436
    Oben rechts KachelX + 1 53005 KachelY 22132 1.94019808 0.87844928 111.165161 50.331436
    Unten links KachelX 53004 KachelY + 1 22133 1.94010220 0.87838808 111.159668 50.327930
    Unten rechts KachelX + 1 53005 KachelY + 1 22133 1.94019808 0.87838808 111.165161 50.327930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87844928-0.87838808) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dl = 389.905199999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87844928-0.87838808) × R
    6.11999999999835e-05 × 6371000     		dr = 389.905199999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94010220-1.94019808) × cos(0.87844928) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.638345577824959 × 6371000     		do = 389.934340965576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94010220-1.94019808) × cos(0.87838808) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.638392685323953 × 6371000     		du = 389.963116651055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87844928)-sin(0.87838808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638345577824959-0.638392685323953)×R²
    abs(1.94019808-1.94010220)×4.71074989932818e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71074989932818e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71074989932818e-05×40589641000000     		ar = 152043.037143095m²