Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53004 / 102204
↖ ↑ ↗
← S 70.433120°
W 34.420166°		 ← 102.29 m → S 70.433120°
W 34.417419°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
S 70.434040°
W 34.420166°		 ← 102.28 m →
10 466 m²		 S 70.434040°
W 34.417419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404392242431641 y=0.779758453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404392242431641 × 217)
    floor (0.404392242431641 × 131072)
    floor (53004.5)     		tx = 53004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779758453369141 × 217)
    floor (0.779758453369141 × 131072)
    floor (102204.5)     		ty = 102204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53004 / 102204 ti = "17/53004/102204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53004/102204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53004 ÷ 217
    53004 ÷ 131072     		x = 0.404388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102204 ÷ 217
    102204 ÷ 131072     		y = 0.779754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.19122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60074523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.55950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75775023526822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60074523} λ = -0.60074523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75775023526822))-π/2
    2×atan(0.172432360014155)-π/2
    2×0.170753242333666-π/2
    0.341506484667333-1.57079632675     		φ = -1.22928984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60074523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.420166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22928984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.433120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53004 KachelY 102204 -0.60074523 -1.22928984 -34.420166 -70.433120
    Oben rechts KachelX + 1 53005 KachelY 102204 -0.60069729 -1.22928984 -34.417419 -70.433120
    Unten links KachelX 53004 KachelY + 1 102205 -0.60074523 -1.22930590 -34.420166 -70.434040
    Unten rechts KachelX + 1 53005 KachelY + 1 102205 -0.60069729 -1.22930590 -34.417419 -70.434040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22928984--1.22930590) × R
    1.60599999998734e-05 × 6371000     		dl = 102.318259999193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22928984--1.22930590) × R
    1.60599999998734e-05 × 6371000     		dr = 102.318259999193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60074523--0.60069729) × cos(-1.22928984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334906960633234 × 6371000     		do = 102.289206282489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60074523--0.60069729) × cos(-1.22930590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33489182803574 × 6371000     		du = 102.284584397702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22928984)-sin(-1.22930590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334906960633234-0.33489182803574)×R²
    abs(-0.60069729--0.60074523)×1.5132597493972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5132597493972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5132597493972e-05×40589641000000     		ar = 10465.8171521068m²