Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53002 / 93963
↖ ↑ ↗
← S 61.284752°
W 34.425659°		 ← 146.74 m → S 61.284752°
W 34.422912°		 →
↑
146.72 m
↓
↑
146.72 m
↓
S 61.286071°
W 34.425659°		 ← 146.74 m →
21 530 m²		 S 61.286071°
W 34.422912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404376983642578 y=0.716884613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404376983642578 × 217)
    floor (0.404376983642578 × 131072)
    floor (53002.5)     		tx = 53002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716884613037109 × 217)
    floor (0.716884613037109 × 131072)
    floor (93963.5)     		ty = 93963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53002 / 93963 ti = "17/53002/93963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53002/93963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53002 ÷ 217
    53002 ÷ 131072     		x = 0.404373168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93963 ÷ 217
    93963 ÷ 131072     		y = 0.716880798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404373168945312 × 2 - 1) × π
    -0.191253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60084110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716880798339844 × 2 - 1) × π
    -0.433761596679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.36270224549934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60084110} λ = -0.60084110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36270224549934))-π/2
    2×atan(0.255968152765943)-π/2
    2×0.250587812406631-π/2
    0.501175624813261-1.57079632675     		φ = -1.06962070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60084110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.425659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06962070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.284752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53002 KachelY 93963 -0.60084110 -1.06962070 -34.425659 -61.284752
    Oben rechts KachelX + 1 53003 KachelY 93963 -0.60079316 -1.06962070 -34.422912 -61.284752
    Unten links KachelX 53002 KachelY + 1 93964 -0.60084110 -1.06964373 -34.425659 -61.286071
    Unten rechts KachelX + 1 53003 KachelY + 1 93964 -0.60079316 -1.06964373 -34.422912 -61.286071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06962070--1.06964373) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dl = 146.724129999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06962070--1.06964373) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dr = 146.724129999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60084110--0.60079316) × cos(-1.06962070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480456916634454 × 6371000     		do = 146.7439093011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60084110--0.60079316) × cos(-1.06964373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480436718774902 × 6371000     		du = 146.7377403549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06962070)-sin(-1.06964373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480456916634454-0.480436718774902)×R²
    abs(-0.60079316--0.60084110)×2.01978595519847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01978595519847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01978595519847e-05×40589641000000     		ar = 21530.4198592104m²