Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53001 / 26366
↖ ↑ ↗
← N 33.146750°
E111.143188°		 ← 511.40 m → N 33.146750°
E111.148681°		 →
↑
511.46 m
↓
↑
511.46 m
↓
N 33.142151°
E111.143188°		 ← 511.42 m →
261 567 m²		 N 33.142151°
E111.148681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808738708496094 y=0.402320861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808738708496094 × 216)
    floor (0.808738708496094 × 65536)
    floor (53001.5)     		tx = 53001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402320861816406 × 216)
    floor (0.402320861816406 × 65536)
    floor (26366.5)     		ty = 26366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53001 / 26366 ti = "16/53001/26366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53001/26366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53001 ÷ 216
    53001 ÷ 65536     		x = 0.808731079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26366 ÷ 216
    26366 ÷ 65536     		y = 0.402313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808731079101562 × 2 - 1) × π
    0.617462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93981458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402313232421875 × 2 - 1) × π
    0.19537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.613784062735199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93981458} λ = 1.93981458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613784062735199))-π/2
    2×atan(1.84740889997961)-π/2
    2×1.07465812730427-π/2
    2.14931625460854-1.57079632675     		φ = 0.57851993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93981458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.143188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57851993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.146750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53001 KachelY 26366 1.93981458 0.57851993 111.143188 33.146750
    Oben rechts KachelX + 1 53002 KachelY 26366 1.93991045 0.57851993 111.148681 33.146750
    Unten links KachelX 53001 KachelY + 1 26367 1.93981458 0.57843965 111.143188 33.142151
    Unten rechts KachelX + 1 53002 KachelY + 1 26367 1.93991045 0.57843965 111.148681 33.142151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57851993-0.57843965) × R
    8.02800000000436e-05 × 6371000     		dl = 511.463880000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57851993-0.57843965) × R
    8.02800000000436e-05 × 6371000     		dr = 511.463880000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93981458-1.93991045) × cos(0.57851993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837272847226789 × 6371000     		do = 511.39601523919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93981458-1.93991045) × cos(0.57843965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837316740453667 × 6371000     		du = 511.422824685353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57851993)-sin(0.57843965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837272847226789-0.837316740453667)×R²
    abs(1.93991045-1.93981458)×4.38932268772563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38932268772563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38932268772563e-05×40589641000000     		ar = 261567.446342792m²