Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53001 / 102197
↖ ↑ ↗
← S 70.426680°
W 34.428406°		 ← 102.32 m → S 70.426680°
W 34.425659°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
S 70.427600°
W 34.428406°		 ← 102.32 m →
10 469 m²		 S 70.427600°
W 34.425659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404369354248047 y=0.779705047607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404369354248047 × 217)
    floor (0.404369354248047 × 131072)
    floor (53001.5)     		tx = 53001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779705047607422 × 217)
    floor (0.779705047607422 × 131072)
    floor (102197.5)     		ty = 102197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53001 / 102197 ti = "17/53001/102197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53001/102197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53001 ÷ 217
    53001 ÷ 131072     		x = 0.404365539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102197 ÷ 217
    102197 ÷ 131072     		y = 0.779701232910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404365539550781 × 2 - 1) × π
    -0.191268920898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.60088904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779701232910156 × 2 - 1) × π
    -0.559402465820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.75741467697088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60088904} λ = -0.60088904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75741467697088))-π/2
    2×atan(0.172490230832261)-π/2
    2×0.170809441622034-π/2
    0.341618883244067-1.57079632675     		φ = -1.22917744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60088904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.428406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22917744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.426680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53001 KachelY 102197 -0.60088904 -1.22917744 -34.428406 -70.426680
    Oben rechts KachelX + 1 53002 KachelY 102197 -0.60084110 -1.22917744 -34.425659 -70.426680
    Unten links KachelX 53001 KachelY + 1 102198 -0.60088904 -1.22919350 -34.428406 -70.427600
    Unten rechts KachelX + 1 53002 KachelY + 1 102198 -0.60084110 -1.22919350 -34.425659 -70.427600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22917744--1.22919350) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dl = 102.318260000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22917744--1.22919350) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dr = 102.318260000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60088904--0.60084110) × cos(-1.22917744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335012867552552 × 6371000     		do = 102.321552981693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60088904--0.60084110) × cos(-1.22919350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334997735559695 × 6371000     		du = 102.316931281577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22917744)-sin(-1.22919350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335012867552552-0.334997735559695)×R²
    abs(-0.60084110--0.60088904)×1.51319928569649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51319928569649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51319928569649e-05×40589641000000     		ar = 10469.1268197905m²