Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53000 / 93962
↖ ↑ ↗
← S 61.283432°
W 34.431152°		 ← 146.72 m → S 61.283432°
W 34.428406°		 →
↑
146.72 m
↓
↑
146.72 m
↓
S 61.284752°
W 34.431152°		 ← 146.71 m →
21 527 m²		 S 61.284752°
W 34.428406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404361724853516 y=0.716876983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404361724853516 × 217)
    floor (0.404361724853516 × 131072)
    floor (53000.5)     		tx = 53000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716876983642578 × 217)
    floor (0.716876983642578 × 131072)
    floor (93962.5)     		ty = 93962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53000 / 93962 ti = "17/53000/93962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53000/93962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53000 ÷ 217
    53000 ÷ 131072     		x = 0.40435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93962 ÷ 217
    93962 ÷ 131072     		y = 0.716873168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60093697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716873168945312 × 2 - 1) × π
    -0.433746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36265430859972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60093697} λ = -0.60093697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36265430859972))-π/2
    2×atan(0.255980423379693)-π/2
    2×0.250599328456155-π/2
    0.501198656912309-1.57079632675     		φ = -1.06959767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60093697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.431152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06959767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.283432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53000 KachelY 93962 -0.60093697 -1.06959767 -34.431152 -61.283432
    Oben rechts KachelX + 1 53001 KachelY 93962 -0.60088904 -1.06959767 -34.428406 -61.283432
    Unten links KachelX 53000 KachelY + 1 93963 -0.60093697 -1.06962070 -34.431152 -61.284752
    Unten rechts KachelX + 1 53001 KachelY + 1 93963 -0.60088904 -1.06962070 -34.428406 -61.284752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06959767--1.06962070) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dl = 146.724129999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06959767--1.06962070) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dr = 146.724129999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60093697--0.60088904) × cos(-1.06959767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480477114239181 × 6371000     		do = 146.719466972708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60093697--0.60088904) × cos(-1.06962070) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480456916634454 × 6371000     		du = 146.713299391127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06959767)-sin(-1.06962070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480477114239181-0.480456916634454)×R²
    abs(-0.60088904--0.60093697)×2.01976047267682e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01976047267682e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01976047267682e-05×40589641000000     		ar = 21526.8336800176m²