Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 530 / 491
↖ ↑ ↗
← N 79.512661°
W133.417969°		 ← 1 778.86 m → N 79.512661°
W133.330078°		 →
↑
1 780.18 m
↓
↑
1 780.18 m
↓
N 79.496652°
W133.417969°		 ← 1 781.55 m →
3 169 093 m²		 N 79.496652°
W133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1295166015625 y=0.1199951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1295166015625 × 212)
    floor (0.1295166015625 × 4096)
    floor (530.5)     		tx = 530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1199951171875 × 212)
    floor (0.1199951171875 × 4096)
    floor (491.5)     		ty = 491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 530 / 491 ti = "12/530/491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/530/491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 530 ÷ 212
    530 ÷ 4096     		x = 0.12939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 491 ÷ 212
    491 ÷ 4096     		y = 0.119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12939453125 × 2 - 1) × π
    -0.7412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32858284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119873046875 × 2 - 1) × π
    0.76025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38840808666968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32858284} λ = -2.32858284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38840808666968))-π/2
    2×atan(10.8961344276417)-π/2
    2×1.4792770343848-π/2
    2.9585540687696-1.57079632675     		φ = 1.38775774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32858284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38775774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.512661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 530 KachelY 491 -2.32858284 1.38775774 -133.417969 79.512661
    Oben rechts KachelX + 1 531 KachelY 491 -2.32704886 1.38775774 -133.330078 79.512661
    Unten links KachelX 530 KachelY + 1 492 -2.32858284 1.38747832 -133.417969 79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 531 KachelY + 1 492 -2.32704886 1.38747832 -133.330078 79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38775774-1.38747832) × R
    0.00027942000000003 × 6371000     		dl = 1780.18482000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38775774-1.38747832) × R
    0.00027942000000003 × 6371000     		dr = 1780.18482000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32858284--2.32704886) × cos(1.38775774) × R
    0.00153398000000005 × 0.182018236788377 × 6371000     		do = 1778.86178544812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32858284--2.32704886) × cos(1.38747832) × R
    0.00153398000000005 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 1781.54686682539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38775774)-sin(1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182018236788377-0.182292982011374)×R²
    abs(-2.32704886--2.32858284)×0.000274745222996642×R²
    0.00153398000000005×0.000274745222996642×6371000²
    0.00153398000000005×0.000274745222996642×40589641000000     		ar = 3169092.73850599m²