Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 530 / 371
↖ ↑ ↗
← N 44.339565°
E  6.328125°		 ← 27.959 km → N 44.339565°
E  6.679688°		 →
↑
28.019 km
↓
↑
28.019 km
↓
N 44.087585°
E  6.328125°		 ← 28.079 km →
785.060 km²		 N 44.087585°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51806640625 y=0.36279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51806640625 × 210)
    floor (0.51806640625 × 1024)
    floor (530.5)     		tx = 530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36279296875 × 210)
    floor (0.36279296875 × 1024)
    floor (371.5)     		ty = 371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 530 / 371 ti = "10/530/371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/530/371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 530 ÷ 210
    530 ÷ 1024     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 371 ÷ 210
    371 ÷ 1024     		y = 0.3623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865165164342773))-π/2
    2×atan(2.37539838469237)-π/2
    2×1.17233386462968-π/2
    2.34466772925936-1.57079632675     		φ = 0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 530 KachelY 371 0.11044662 0.77387140 6.328125 44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 531 KachelY 371 0.11658254 0.77387140 6.679688 44.339565
    Unten links KachelX 530 KachelY + 1 372 0.11044662 0.76947352 6.328125 44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 531 KachelY + 1 372 0.11658254 0.76947352 6.679688 44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77387140-0.76947352) × R
    0.00439787999999997 × 6371000     		dl = 28018.8934799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77387140-0.76947352) × R
    0.00439787999999997 × 6371000     		dr = 28018.8934799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11658254) × cos(0.77387140) × R
    0.00613592 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 27958.9618130071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11658254) × cos(0.76947352) × R
    0.00613592 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 28078.8487172261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77387140)-sin(0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.71827707137878)×R²
    abs(0.11658254-0.11044662)×0.00306679292040435×R²
    0.00613592×0.00306679292040435×6371000²
    0.00613592×0.00306679292040435×40589641000000     		ar = 785059987.393144m²