Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52999 / 21774
↖ ↑ ↗
← N 51.570241°
E111.132202°		 ← 379.68 m → N 51.570241°
E111.137696°		 →
↑
379.65 m
↓
↑
379.65 m
↓
N 51.566827°
E111.132202°		 ← 379.71 m →
144 149 m²		 N 51.566827°
E111.137696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808708190917969 y=0.332252502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808708190917969 × 216)
    floor (0.808708190917969 × 65536)
    floor (52999.5)     		tx = 52999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332252502441406 × 216)
    floor (0.332252502441406 × 65536)
    floor (21774.5)     		ty = 21774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52999 / 21774 ti = "16/52999/21774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52999/21774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52999 ÷ 216
    52999 ÷ 65536     		x = 0.808700561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21774 ÷ 216
    21774 ÷ 65536     		y = 0.332244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808700561523438 × 2 - 1) × π
    0.617401123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93962283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332244873046875 × 2 - 1) × π
    0.33551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05403654884579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93962283} λ = 1.93962283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05403654884579))-π/2
    2×atan(2.86920947863492)-π/2
    2×1.23543341802701-π/2
    2.47086683605402-1.57079632675     		φ = 0.90007051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93962283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.132202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90007051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.570241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52999 KachelY 21774 1.93962283 0.90007051 111.132202 51.570241
    Oben rechts KachelX + 1 53000 KachelY 21774 1.93971871 0.90007051 111.137696 51.570241
    Unten links KachelX 52999 KachelY + 1 21775 1.93962283 0.90001092 111.132202 51.566827
    Unten rechts KachelX + 1 53000 KachelY + 1 21775 1.93971871 0.90001092 111.137696 51.566827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90007051-0.90001092) × R
    5.95899999999983e-05 × 6371000     		dl = 379.647889999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90007051-0.90001092) × R
    5.95899999999983e-05 × 6371000     		dr = 379.647889999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93962283-1.93971871) × cos(0.90007051) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.621554734345096 × 6371000     		do = 379.67762937546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93962283-1.93971871) × cos(0.90001092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.621601414303749 × 6371000     		du = 379.706143897289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90007051)-sin(0.90001092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621554734345096-0.621601414303749)×R²
    abs(1.93971871-1.93962283)×4.66799586534838e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66799586534838e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66799586534838e-05×40589641000000     		ar = 144149.223654268m²