Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52999 / 102203
↖ ↑ ↗
← S 70.432200°
W 34.433899°		 ← 102.29 m → S 70.432200°
W 34.431152°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 70.433120°
W 34.433899°		 ← 102.29 m →
10 460 m²		 S 70.433120°
W 34.431152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404354095458984 y=0.779750823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404354095458984 × 217)
    floor (0.404354095458984 × 131072)
    floor (52999.5)     		tx = 52999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779750823974609 × 217)
    floor (0.779750823974609 × 131072)
    floor (102203.5)     		ty = 102203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52999 / 102203 ti = "17/52999/102203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52999/102203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52999 ÷ 217
    52999 ÷ 131072     		x = 0.404350280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102203 ÷ 217
    102203 ÷ 131072     		y = 0.779747009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404350280761719 × 2 - 1) × π
    -0.191299438476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.60098491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779747009277344 × 2 - 1) × π
    -0.559494018554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.7577022983686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60098491} λ = -0.60098491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7577022983686))-π/2
    2×atan(0.172440626085012)-π/2
    2×0.170761269715586-π/2
    0.341522539431173-1.57079632675     		φ = -1.22927379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60098491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.433899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22927379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.432200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52999 KachelY 102203 -0.60098491 -1.22927379 -34.433899 -70.432200
    Oben rechts KachelX + 1 53000 KachelY 102203 -0.60093697 -1.22927379 -34.431152 -70.432200
    Unten links KachelX 52999 KachelY + 1 102204 -0.60098491 -1.22928984 -34.433899 -70.433120
    Unten rechts KachelX + 1 53000 KachelY + 1 102204 -0.60093697 -1.22928984 -34.431152 -70.433120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22927379--1.22928984) × R
    1.60500000001562e-05 × 6371000     		dl = 102.254550000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22927379--1.22928984) × R
    1.60500000001562e-05 × 6371000     		dr = 102.254550000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60098491--0.60093697) × cos(-1.22927379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334922083721889 × 6371000     		do = 102.293825263033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60098491--0.60093697) × cos(-1.22928984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334906960633234 × 6371000     		du = 102.289206282489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22927379)-sin(-1.22928984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334922083721889-0.334906960633234)×R²
    abs(-0.60093697--0.60098491)×1.51230886555886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51230886555886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51230886555886e-05×40589641000000     		ar = 10459.7729146622m²