Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52997 / 93974
↖ ↑ ↗
← S 61.299264°
W 34.439392°		 ← 146.65 m → S 61.299264°
W 34.436646°		 →
↑
146.66 m
↓
↑
146.66 m
↓
S 61.300583°
W 34.439392°		 ← 146.64 m →
21 507 m²		 S 61.300583°
W 34.436646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404338836669922 y=0.716968536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404338836669922 × 217)
    floor (0.404338836669922 × 131072)
    floor (52997.5)     		tx = 52997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716968536376953 × 217)
    floor (0.716968536376953 × 131072)
    floor (93974.5)     		ty = 93974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52997 / 93974 ti = "17/52997/93974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52997/93974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52997 ÷ 217
    52997 ÷ 131072     		x = 0.404335021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93974 ÷ 217
    93974 ÷ 131072     		y = 0.716964721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404335021972656 × 2 - 1) × π
    -0.191329956054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.60108078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716964721679688 × 2 - 1) × π
    -0.433929443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36322955139516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60108078} λ = -0.60108078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36322955139516))-π/2
    2×atan(0.255833214829759)-π/2
    2×0.250461167812122-π/2
    0.500922335624243-1.57079632675     		φ = -1.06987399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60108078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.439392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06987399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.299264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52997 KachelY 93974 -0.60108078 -1.06987399 -34.439392 -61.299264
    Oben rechts KachelX + 1 52998 KachelY 93974 -0.60103285 -1.06987399 -34.436646 -61.299264
    Unten links KachelX 52997 KachelY + 1 93975 -0.60108078 -1.06989701 -34.439392 -61.300583
    Unten rechts KachelX + 1 52998 KachelY + 1 93975 -0.60103285 -1.06989701 -34.436646 -61.300583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06987399--1.06989701) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dl = 146.660419999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06987399--1.06989701) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dr = 146.660419999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60108078--0.60103285) × cos(-1.06987399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480234761251954 × 6371000     		do = 146.645461572552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60108078--0.60103285) × cos(-1.06989701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480214569361985 × 6371000     		du = 146.639295736041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06987399)-sin(-1.06989701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480234761251954-0.480214569361985)×R²
    abs(-0.60103285--0.60108078)×2.01918899689346e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01918899689346e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01918899689346e-05×40589641000000     		ar = 21506.632844198m²