Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52996 / 21781
↖ ↑ ↗
← N 51.546335°
E111.115723°		 ← 379.84 m → N 51.546335°
E111.121216°		 →
↑
379.84 m
↓
↑
379.84 m
↓
N 51.542919°
E111.115723°		 ← 379.87 m →
144 283 m²		 N 51.542919°
E111.121216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808662414550781 y=0.332359313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808662414550781 × 216)
    floor (0.808662414550781 × 65536)
    floor (52996.5)     		tx = 52996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332359313964844 × 216)
    floor (0.332359313964844 × 65536)
    floor (21781.5)     		ty = 21781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52996 / 21781 ti = "16/52996/21781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52996/21781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52996 ÷ 216
    52996 ÷ 65536     		x = 0.80865478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21781 ÷ 216
    21781 ÷ 65536     		y = 0.332351684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80865478515625 × 2 - 1) × π
    0.6173095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93933521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332351684570312 × 2 - 1) × π
    0.335296630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05336543225111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93933521} λ = 1.93933521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05336543225111))-π/2
    2×atan(2.86728455053803)-π/2
    2×1.23522479534939-π/2
    2.47044959069877-1.57079632675     		φ = 0.89965326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93933521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.115723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89965326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.546335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52996 KachelY 21781 1.93933521 0.89965326 111.115723 51.546335
    Oben rechts KachelX + 1 52997 KachelY 21781 1.93943108 0.89965326 111.121216 51.546335
    Unten links KachelX 52996 KachelY + 1 21782 1.93933521 0.89959364 111.115723 51.542919
    Unten rechts KachelX + 1 52997 KachelY + 1 21782 1.93943108 0.89959364 111.121216 51.542919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89965326-0.89959364) × R
    5.9620000000038e-05 × 6371000     		dl = 379.839020000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89965326-0.89959364) × R
    5.9620000000038e-05 × 6371000     		dr = 379.839020000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93933521-1.93943108) × cos(0.89965326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62188154167021 × 6371000     		do = 379.837640040901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93933521-1.93943108) × cos(0.89959364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621928229662156 × 6371000     		du = 379.866156495388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89965326)-sin(0.89959364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62188154167021-0.621928229662156)×R²
    abs(1.93943108-1.93933521)×4.66879919460705e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66879919460705e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66879919460705e-05×40589641000000     		ar = 144282.572826553m²