Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52995 / 93975
↖ ↑ ↗
← S 61.300583°
W 34.444885°		 ← 146.67 m → S 61.300583°
W 34.442139°		 →
↑
146.66 m
↓
↑
146.66 m
↓
S 61.301902°
W 34.444885°		 ← 146.66 m →
21 510 m²		 S 61.301902°
W 34.442139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404323577880859 y=0.716976165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404323577880859 × 217)
    floor (0.404323577880859 × 131072)
    floor (52995.5)     		tx = 52995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716976165771484 × 217)
    floor (0.716976165771484 × 131072)
    floor (93975.5)     		ty = 93975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52995 / 93975 ti = "17/52995/93975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52995/93975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52995 ÷ 217
    52995 ÷ 131072     		x = 0.404319763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93975 ÷ 217
    93975 ÷ 131072     		y = 0.716972351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404319763183594 × 2 - 1) × π
    -0.191360473632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.60117666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716972351074219 × 2 - 1) × π
    -0.433944702148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.36327748829478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60117666} λ = -0.60117666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36327748829478))-π/2
    2×atan(0.255820951272561)-π/2
    2×0.250449657571365-π/2
    0.500899315142729-1.57079632675     		φ = -1.06989701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60117666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.444885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06989701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.300583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52995 KachelY 93975 -0.60117666 -1.06989701 -34.444885 -61.300583
    Oben rechts KachelX + 1 52996 KachelY 93975 -0.60112872 -1.06989701 -34.442139 -61.300583
    Unten links KachelX 52995 KachelY + 1 93976 -0.60117666 -1.06992003 -34.444885 -61.301902
    Unten rechts KachelX + 1 52996 KachelY + 1 93976 -0.60112872 -1.06992003 -34.442139 -61.301902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06989701--1.06992003) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dl = 146.660419999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06989701--1.06992003) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dr = 146.660419999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60117666--0.60112872) × cos(-1.06989701) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.480214569361985 × 6371000     		do = 146.669890206409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60117666--0.60112872) × cos(-1.06992003) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.480194377217541 × 6371000     		du = 146.66372300575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06989701)-sin(-1.06992003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480214569361985-0.480194377217541)×R²
    abs(-0.60112872--0.60117666)×2.01921444444308e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01921444444308e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01921444444308e-05×40589641000000     		ar = 21510.2154577549m²