Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52995 / 26383
↖ ↑ ↗
← N 33.068528°
E111.110230°		 ← 511.85 m → N 33.068528°
E111.115723°		 →
↑
511.91 m
↓
↑
511.91 m
↓
N 33.063924°
E111.110230°		 ← 511.88 m →
262 029 m²		 N 33.063924°
E111.115723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808647155761719 y=0.402580261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808647155761719 × 216)
    floor (0.808647155761719 × 65536)
    floor (52995.5)     		tx = 52995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402580261230469 × 216)
    floor (0.402580261230469 × 65536)
    floor (26383.5)     		ty = 26383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52995 / 26383 ti = "16/52995/26383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52995/26383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52995 ÷ 216
    52995 ÷ 65536     		x = 0.808639526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26383 ÷ 216
    26383 ÷ 65536     		y = 0.402572631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808639526367188 × 2 - 1) × π
    0.617279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93923934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402572631835938 × 2 - 1) × π
    0.194854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.612154208148117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93923934} λ = 1.93923934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.612154208148117))-π/2
    2×atan(1.84440034452972)-π/2
    2×1.07397550689603-π/2
    2.14795101379205-1.57079632675     		φ = 0.57715469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93923934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.110230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57715469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.068528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52995 KachelY 26383 1.93923934 0.57715469 111.110230 33.068528
    Oben rechts KachelX + 1 52996 KachelY 26383 1.93933521 0.57715469 111.115723 33.068528
    Unten links KachelX 52995 KachelY + 1 26384 1.93923934 0.57707434 111.110230 33.063924
    Unten rechts KachelX + 1 52996 KachelY + 1 26384 1.93933521 0.57707434 111.115723 33.063924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57715469-0.57707434) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dl = 511.90984999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57715469-0.57707434) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dr = 511.90984999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93923934-1.93933521) × cos(0.57715469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838018559888549 × 6371000     		do = 511.851487412927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93923934-1.93933521) × cos(0.57707434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83806239949602 × 6371000     		du = 511.878264109012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57715469)-sin(0.57707434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838018559888549-0.83806239949602)×R²
    abs(1.93933521-1.93923934)×4.3839607471341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3839607471341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3839607471341e-05×40589641000000     		ar = 262028.671911641m²