Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52992 / 102146
↖ ↑ ↗
← S 70.379699°
W 34.453125°		 ← 102.56 m → S 70.379699°
W 34.450378°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 70.380621°
W 34.453125°		 ← 102.55 m →
10 513 m²		 S 70.380621°
W 34.450378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404300689697266 y=0.779315948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404300689697266 × 217)
    floor (0.404300689697266 × 131072)
    floor (52992.5)     		tx = 52992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779315948486328 × 217)
    floor (0.779315948486328 × 131072)
    floor (102146.5)     		ty = 102146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52992 / 102146 ti = "17/52992/102146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52992/102146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52992 ÷ 217
    52992 ÷ 131072     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102146 ÷ 217
    102146 ÷ 131072     		y = 0.779312133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779312133789062 × 2 - 1) × π
    -0.558624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75496989509026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75496989509026))-π/2
    2×atan(0.172912447726994)-π/2
    2×0.171219430290783-π/2
    0.342438860581565-1.57079632675     		φ = -1.22835747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22835747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.379699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52992 KachelY 102146 -0.60132047 -1.22835747 -34.453125 -70.379699
    Oben rechts KachelX + 1 52993 KachelY 102146 -0.60127253 -1.22835747 -34.450378 -70.379699
    Unten links KachelX 52992 KachelY + 1 102147 -0.60132047 -1.22837356 -34.453125 -70.380621
    Unten rechts KachelX + 1 52993 KachelY + 1 102147 -0.60127253 -1.22837356 -34.450378 -70.380621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22835747--1.22837356) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dl = 102.509390000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22835747--1.22837356) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dr = 102.509390000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.60127253) × cos(-1.22835747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335785341689567 × 6371000     		do = 102.557486466622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.60127253) × cos(-1.22837356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335770185855069 × 6371000     		du = 102.552857484655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22835747)-sin(-1.22837356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335785341689567-0.335770185855069)×R²
    abs(-0.60127253--0.60132047)×1.51558344980707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51558344980707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51558344980707e-05×40589641000000     		ar = 10512.8681208135m²