Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52991 / 102145
↖ ↑ ↗
← S 70.378776°
W 34.455872°		 ← 102.56 m → S 70.378776°
W 34.453125°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
S 70.379699°
W 34.455872°		 ← 102.56 m →
10 520 m²		 S 70.379699°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404293060302734 y=0.779308319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404293060302734 × 217)
    floor (0.404293060302734 × 131072)
    floor (52991.5)     		tx = 52991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779308319091797 × 217)
    floor (0.779308319091797 × 131072)
    floor (102145.5)     		ty = 102145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52991 / 102145 ti = "17/52991/102145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52991/102145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52991 ÷ 217
    52991 ÷ 131072     		x = 0.404289245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102145 ÷ 217
    102145 ÷ 131072     		y = 0.779304504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404289245605469 × 2 - 1) × π
    -0.191421508789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.60136841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779304504394531 × 2 - 1) × π
    -0.558609008789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.75492195819064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60136841} λ = -0.60136841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75492195819064))-π/2
    2×atan(0.172920736812319)-π/2
    2×0.171227478726684-π/2
    0.342454957453367-1.57079632675     		φ = -1.22834137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60136841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.455872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22834137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.378776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52991 KachelY 102145 -0.60136841 -1.22834137 -34.455872 -70.378776
    Oben rechts KachelX + 1 52992 KachelY 102145 -0.60132047 -1.22834137 -34.453125 -70.378776
    Unten links KachelX 52991 KachelY + 1 102146 -0.60136841 -1.22835747 -34.455872 -70.379699
    Unten rechts KachelX + 1 52992 KachelY + 1 102146 -0.60132047 -1.22835747 -34.453125 -70.379699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22834137--1.22835747) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dl = 102.573099999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22834137--1.22835747) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dr = 102.573099999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60136841--0.60132047) × cos(-1.22834137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335800506856466 × 6371000     		do = 102.562118298944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60136841--0.60132047) × cos(-1.22835747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335785341689567 × 6371000     		du = 102.557486466622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22834137)-sin(-1.22835747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335800506856466-0.335785341689567)×R²
    abs(-0.60132047--0.60136841)×1.51651668982566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51651668982566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51651668982566e-05×40589641000000     		ar = 10519.8768660328m²