Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52989 / 102147
↖ ↑ ↗
← S 70.380621°
W 34.461365°		 ← 102.55 m → S 70.380621°
W 34.458618°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
S 70.381543°
W 34.461365°		 ← 102.55 m →
10 519 m²		 S 70.381543°
W 34.458618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404277801513672 y=0.779323577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404277801513672 × 217)
    floor (0.404277801513672 × 131072)
    floor (52989.5)     		tx = 52989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779323577880859 × 217)
    floor (0.779323577880859 × 131072)
    floor (102147.5)     		ty = 102147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52989 / 102147 ti = "17/52989/102147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52989/102147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52989 ÷ 217
    52989 ÷ 131072     		x = 0.404273986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102147 ÷ 217
    102147 ÷ 131072     		y = 0.779319763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404273986816406 × 2 - 1) × π
    -0.191452026367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.60146428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779319763183594 × 2 - 1) × π
    -0.558639526367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.75501783198988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60146428} λ = -0.60146428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75501783198988))-π/2
    2×atan(0.172904159039013)-π/2
    2×0.171211382218289-π/2
    0.342422764436579-1.57079632675     		φ = -1.22837356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60146428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.461365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22837356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.380621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52989 KachelY 102147 -0.60146428 -1.22837356 -34.461365 -70.380621
    Oben rechts KachelX + 1 52990 KachelY 102147 -0.60141634 -1.22837356 -34.458618 -70.380621
    Unten links KachelX 52989 KachelY + 1 102148 -0.60146428 -1.22838966 -34.461365 -70.381543
    Unten rechts KachelX + 1 52990 KachelY + 1 102148 -0.60141634 -1.22838966 -34.458618 -70.381543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22837356--1.22838966) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dl = 102.573099999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22837356--1.22838966) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dr = 102.573099999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60146428--0.60141634) × cos(-1.22837356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335770185855069 × 6371000     		do = 102.552857484655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60146428--0.60141634) × cos(-1.22838966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335755020514151 × 6371000     		du = 102.548225599183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22837356)-sin(-1.22838966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335770185855069-0.335755020514151)×R²
    abs(-0.60141634--0.60146428)×1.51653409181107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51653409181107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51653409181107e-05×40589641000000     		ar = 10518.9269526968m²