Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52987 / 93982
↖ ↑ ↗
← S 61.309815°
W 34.466858°		 ← 146.60 m → S 61.309815°
W 34.464112°		 →
↑
146.60 m
↓
↑
146.60 m
↓
S 61.311133°
W 34.466858°		 ← 146.59 m →
21 490 m²		 S 61.311133°
W 34.464112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404262542724609 y=0.717029571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404262542724609 × 217)
    floor (0.404262542724609 × 131072)
    floor (52987.5)     		tx = 52987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717029571533203 × 217)
    floor (0.717029571533203 × 131072)
    floor (93982.5)     		ty = 93982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52987 / 93982 ti = "17/52987/93982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52987/93982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52987 ÷ 217
    52987 ÷ 131072     		x = 0.404258728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93982 ÷ 217
    93982 ÷ 131072     		y = 0.717025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404258728027344 × 2 - 1) × π
    -0.191482543945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.60156015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717025756835938 × 2 - 1) × π
    -0.434051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36361304659212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60156015} λ = -0.60156015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36361304659212))-π/2
    2×atan(0.255735122830756)-π/2
    2×0.250369099436463-π/2
    0.500738198872926-1.57079632675     		φ = -1.07005813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60156015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.466858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07005813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.309815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52987 KachelY 93982 -0.60156015 -1.07005813 -34.466858 -61.309815
    Oben rechts KachelX + 1 52988 KachelY 93982 -0.60151222 -1.07005813 -34.464112 -61.309815
    Unten links KachelX 52987 KachelY + 1 93983 -0.60156015 -1.07008114 -34.466858 -61.311133
    Unten rechts KachelX + 1 52988 KachelY + 1 93983 -0.60151222 -1.07008114 -34.464112 -61.311133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07005813--1.07008114) × R
    2.30100000000455e-05 × 6371000     		dl = 146.59671000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07005813--1.07008114) × R
    2.30100000000455e-05 × 6371000     		dr = 146.59671000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60156015--0.60151222) × cos(-1.07005813) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.480073236552056 × 6371000     		do = 146.596138061956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60156015--0.60151222) × cos(-1.07008114) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.480053051399198 × 6371000     		du = 146.589974282704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07005813)-sin(-1.07008114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480073236552056-0.480053051399198)×R²
    abs(-0.60151222--0.60156015)×2.01851528576769e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.01851528576769e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.01851528576769e-05×40589641000000     		ar = 21490.0597446198m²