Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52987 / 93980
↖ ↑ ↗
← S 61.307177°
W 34.466858°		 ← 146.61 m → S 61.307177°
W 34.464112°		 →
↑
146.60 m
↓
↑
146.60 m
↓
S 61.308496°
W 34.466858°		 ← 146.60 m →
21 492 m²		 S 61.308496°
W 34.464112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404262542724609 y=0.717014312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404262542724609 × 217)
    floor (0.404262542724609 × 131072)
    floor (52987.5)     		tx = 52987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717014312744141 × 217)
    floor (0.717014312744141 × 131072)
    floor (93980.5)     		ty = 93980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52987 / 93980 ti = "17/52987/93980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52987/93980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52987 ÷ 217
    52987 ÷ 131072     		x = 0.404258728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93980 ÷ 217
    93980 ÷ 131072     		y = 0.717010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404258728027344 × 2 - 1) × π
    -0.191482543945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.60156015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717010498046875 × 2 - 1) × π
    -0.43402099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36351717279288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60156015} λ = -0.60156015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36351717279288))-π/2
    2×atan(0.25575964230395)-π/2
    2×0.250392113626864-π/2
    0.500784227253727-1.57079632675     		φ = -1.07001210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60156015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.466858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07001210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.307177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52987 KachelY 93980 -0.60156015 -1.07001210 -34.466858 -61.307177
    Oben rechts KachelX + 1 52988 KachelY 93980 -0.60151222 -1.07001210 -34.464112 -61.307177
    Unten links KachelX 52987 KachelY + 1 93981 -0.60156015 -1.07003511 -34.466858 -61.308496
    Unten rechts KachelX + 1 52988 KachelY + 1 93981 -0.60151222 -1.07003511 -34.464112 -61.308496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07001210--1.07003511) × R
    2.30100000000455e-05 × 6371000     		dl = 146.59671000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07001210--1.07003511) × R
    2.30100000000455e-05 × 6371000     		dr = 146.59671000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60156015--0.60151222) × cos(-1.07001210) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.480113614867285 × 6371000     		do = 146.608468066263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60156015--0.60151222) × cos(-1.07003511) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.480093430222908 × 6371000     		du = 146.602304442281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07001210)-sin(-1.07003511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480113614867285-0.480093430222908)×R²
    abs(-0.60151222--0.60156015)×2.01846443773079e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.01846443773079e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.01846443773079e-05×40589641000000     		ar = 21491.8672943133m²