Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52987 / 22459
↖ ↑ ↗
← N 49.170930°
E111.066284°		 ← 399.34 m → N 49.170930°
E111.071777°		 →
↑
399.40 m
↓
↑
399.40 m
↓
N 49.167338°
E111.066284°		 ← 399.36 m →
159 500 m²		 N 49.167338°
E111.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808525085449219 y=0.342704772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808525085449219 × 216)
    floor (0.808525085449219 × 65536)
    floor (52987.5)     		tx = 52987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342704772949219 × 216)
    floor (0.342704772949219 × 65536)
    floor (22459.5)     		ty = 22459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52987 / 22459 ti = "16/52987/22459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52987/22459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52987 ÷ 216
    52987 ÷ 65536     		x = 0.808517456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22459 ÷ 216
    22459 ÷ 65536     		y = 0.342697143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808517456054688 × 2 - 1) × π
    0.617034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93847235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342697143554688 × 2 - 1) × π
    0.314605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988362996366318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93847235} λ = 1.93847235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988362996366318))-π/2
    2×atan(2.68683251573145)-π/2
    2×1.21449547745148-π/2
    2.42899095490295-1.57079632675     		φ = 0.85819463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93847235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.066284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85819463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.170930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52987 KachelY 22459 1.93847235 0.85819463 111.066284 49.170930
    Oben rechts KachelX + 1 52988 KachelY 22459 1.93856822 0.85819463 111.071777 49.170930
    Unten links KachelX 52987 KachelY + 1 22460 1.93847235 0.85813194 111.066284 49.167338
    Unten rechts KachelX + 1 52988 KachelY + 1 22460 1.93856822 0.85813194 111.071777 49.167338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85819463-0.85813194) × R
    6.26899999999209e-05 × 6371000     		dl = 399.397989999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85819463-0.85813194) × R
    6.26899999999209e-05 × 6371000     		dr = 399.397989999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93847235-1.93856822) × cos(0.85819463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653804590384313 × 6371000     		do = 399.33584777659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93847235-1.93856822) × cos(0.85813194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653852024330439 × 6371000     		du = 399.364819850766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85819463)-sin(0.85813194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653804590384313-0.653852024330439)×R²
    abs(1.93856822-1.93847235)×4.74339461256079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74339461256079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74339461256079e-05×40589641000000     		ar = 159499.720683073m²