Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52986 / 93954
↖ ↑ ↗
← S 61.272873°
W 34.469604°		 ← 146.80 m → S 61.272873°
W 34.466858°		 →
↑
146.79 m
↓
↑
146.79 m
↓
S 61.274193°
W 34.469604°		 ← 146.79 m →
21 548 m²		 S 61.274193°
W 34.466858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404254913330078 y=0.716815948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404254913330078 × 217)
    floor (0.404254913330078 × 131072)
    floor (52986.5)     		tx = 52986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716815948486328 × 217)
    floor (0.716815948486328 × 131072)
    floor (93954.5)     		ty = 93954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52986 / 93954 ti = "17/52986/93954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52986/93954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52986 ÷ 217
    52986 ÷ 131072     		x = 0.404251098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93954 ÷ 217
    93954 ÷ 131072     		y = 0.716812133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.191497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60160809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716812133789062 × 2 - 1) × π
    -0.433624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36227081340276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60160809} λ = -0.60160809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36227081340276))-π/2
    2×atan(0.256078609468319)-π/2
    2×0.250691474283179-π/2
    0.501382948566357-1.57079632675     		φ = -1.06941338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60160809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.469604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06941338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.272873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52986 KachelY 93954 -0.60160809 -1.06941338 -34.469604 -61.272873
    Oben rechts KachelX + 1 52987 KachelY 93954 -0.60156015 -1.06941338 -34.466858 -61.272873
    Unten links KachelX 52986 KachelY + 1 93955 -0.60160809 -1.06943642 -34.469604 -61.274193
    Unten rechts KachelX + 1 52987 KachelY + 1 93955 -0.60156015 -1.06943642 -34.466858 -61.274193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06941338--1.06943642) × R
    2.30399999998632e-05 × 6371000     		dl = 146.787839999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06941338--1.06943642) × R
    2.30399999998632e-05 × 6371000     		dr = 146.787839999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60160809--0.60156015) × cos(-1.06941338) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.48063872974794 × 6371000     		do = 146.799439706168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60160809--0.60156015) × cos(-1.06943642) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.480618525413456 × 6371000     		du = 146.793268782357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06941338)-sin(-1.06943642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48063872974794-0.480618525413456)×R²
    abs(-0.60156015--0.60160809)×2.02043344840197e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.02043344840197e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.02043344840197e-05×40589641000000     		ar = 21547.9197602234m²