Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52986 / 21812
↖ ↑ ↗
← N 51.440313°
E111.060791°		 ← 380.76 m → N 51.440313°
E111.066284°		 →
↑
380.79 m
↓
↑
380.79 m
↓
N 51.436888°
E111.060791°		 ← 380.79 m →
144 997 m²		 N 51.436888°
E111.066284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808509826660156 y=0.332832336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808509826660156 × 216)
    floor (0.808509826660156 × 65536)
    floor (52986.5)     		tx = 52986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332832336425781 × 216)
    floor (0.332832336425781 × 65536)
    floor (21812.5)     		ty = 21812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52986 / 21812 ti = "16/52986/21812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52986/21812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52986 ÷ 216
    52986 ÷ 65536     		x = 0.808502197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21812 ÷ 216
    21812 ÷ 65536     		y = 0.33282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808502197265625 × 2 - 1) × π
    0.61700439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93837647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33282470703125 × 2 - 1) × π
    0.3343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05039334447467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93837647} λ = 1.93837647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05039334447467))-π/2
    2×atan(2.85877538043769)-π/2
    2×1.23429957632213-π/2
    2.46859915264427-1.57079632675     		φ = 0.89780283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93837647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89780283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.440313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52986 KachelY 21812 1.93837647 0.89780283 111.060791 51.440313
    Oben rechts KachelX + 1 52987 KachelY 21812 1.93847235 0.89780283 111.066284 51.440313
    Unten links KachelX 52986 KachelY + 1 21813 1.93837647 0.89774306 111.060791 51.436888
    Unten rechts KachelX + 1 52987 KachelY + 1 21813 1.93847235 0.89774306 111.066284 51.436888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89780283-0.89774306) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dl = 380.794670000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89780283-0.89774306) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dr = 380.794670000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93837647-1.93847235) × cos(0.89780283) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.623329568844039 × 6371000     		do = 380.761789656776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93837647-1.93847235) × cos(0.89774306) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.62337630543421 × 6371000     		du = 380.790338772051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89780283)-sin(0.89774306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623329568844039-0.62337630543421)×R²
    abs(1.93847235-1.93837647)×4.67365901704042e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.67365901704042e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.67365901704042e-05×40589641000000     		ar = 144997.495759238m²