Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52985 / 102152
↖ ↑ ↗
← S 70.385231°
W 34.472351°		 ← 102.53 m → S 70.385231°
W 34.469604°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 70.386153°
W 34.472351°		 ← 102.53 m →
10 510 m²		 S 70.386153°
W 34.469604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404247283935547 y=0.779361724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404247283935547 × 217)
    floor (0.404247283935547 × 131072)
    floor (52985.5)     		tx = 52985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779361724853516 × 217)
    floor (0.779361724853516 × 131072)
    floor (102152.5)     		ty = 102152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52985 / 102152 ti = "17/52985/102152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52985/102152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52985 ÷ 217
    52985 ÷ 131072     		x = 0.404243469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102152 ÷ 217
    102152 ÷ 131072     		y = 0.77935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404243469238281 × 2 - 1) × π
    -0.191513061523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.60165603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.5587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75525751648798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60165603} λ = -0.60165603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75525751648798))-π/2
    2×atan(0.172862721558593)-π/2
    2×0.171171147306438-π/2
    0.342342294612876-1.57079632675     		φ = -1.22845403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60165603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.472351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22845403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.385231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52985 KachelY 102152 -0.60165603 -1.22845403 -34.472351 -70.385231
    Oben rechts KachelX + 1 52986 KachelY 102152 -0.60160809 -1.22845403 -34.469604 -70.385231
    Unten links KachelX 52985 KachelY + 1 102153 -0.60165603 -1.22847012 -34.472351 -70.386153
    Unten rechts KachelX + 1 52986 KachelY + 1 102153 -0.60160809 -1.22847012 -34.469604 -70.386153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22845403--1.22847012) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dl = 102.509390000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22845403--1.22847012) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dr = 102.509390000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60165603--0.60160809) × cos(-1.22845403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335694386539336 × 6371000     		do = 102.529706422555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60165603--0.60160809) × cos(-1.22847012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335679230183227 × 6371000     		du = 102.525077281275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22845403)-sin(-1.22847012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335694386539336-0.335679230183227)×R²
    abs(-0.60160809--0.60165603)×1.51563561086587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51563561086587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51563561086587e-05×40589641000000     		ar = 10510.0203974891m²