Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52984 / 22456
↖ ↑ ↗
← N 49.181704°
E111.049805°		 ← 399.25 m → N 49.181704°
E111.055298°		 →
↑
399.33 m
↓
↑
399.33 m
↓
N 49.178112°
E111.049805°		 ← 399.28 m →
159 440 m²		 N 49.178112°
E111.055298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808479309082031 y=0.342658996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808479309082031 × 216)
    floor (0.808479309082031 × 65536)
    floor (52984.5)     		tx = 52984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342658996582031 × 216)
    floor (0.342658996582031 × 65536)
    floor (22456.5)     		ty = 22456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52984 / 22456 ti = "16/52984/22456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52984/22456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52984 ÷ 216
    52984 ÷ 65536     		x = 0.8084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22456 ÷ 216
    22456 ÷ 65536     		y = 0.3426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8084716796875 × 2 - 1) × π
    0.616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93818473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3426513671875 × 2 - 1) × π
    0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93818473} λ = 1.93818473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988650617764038))-π/2
    2×atan(2.68760541740126)-π/2
    2×1.21458949131558-π/2
    2.42917898263116-1.57079632675     		φ = 0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93818473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52984 KachelY 22456 1.93818473 0.85838266 111.049805 49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 52985 KachelY 22456 1.93828060 0.85838266 111.055298 49.181704
    Unten links KachelX 52984 KachelY + 1 22457 1.93818473 0.85831998 111.049805 49.178112
    Unten rechts KachelX + 1 52985 KachelY + 1 22457 1.93828060 0.85831998 111.055298 49.178112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85838266-0.85831998) × R
    6.26799999999816e-05 × 6371000     		dl = 399.334279999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85838266-0.85831998) × R
    6.26799999999816e-05 × 6371000     		dr = 399.334279999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93818473-1.93828060) × cos(0.85838266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 399.248940627525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93818473-1.93828060) × cos(0.85831998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653709737486184 × 6371000     		du = 399.277912786463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85838266)-sin(0.85831998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.653709737486184)×R²
    abs(1.93828060-1.93818473)×4.74340849001553e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74340849001553e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74340849001553e-05×40589641000000     		ar = 159439.57308644m²