Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52983 / 102159
↖ ↑ ↗
← S 70.391684°
W 34.477844°		 ← 102.50 m → S 70.391684°
W 34.475097°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 70.392606°
W 34.477844°		 ← 102.49 m →
10 507 m²		 S 70.392606°
W 34.475097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404232025146484 y=0.779415130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404232025146484 × 217)
    floor (0.404232025146484 × 131072)
    floor (52983.5)     		tx = 52983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779415130615234 × 217)
    floor (0.779415130615234 × 131072)
    floor (102159.5)     		ty = 102159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52983 / 102159 ti = "17/52983/102159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52983/102159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52983 ÷ 217
    52983 ÷ 131072     		x = 0.404228210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102159 ÷ 217
    102159 ÷ 131072     		y = 0.779411315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404228210449219 × 2 - 1) × π
    -0.191543579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.60175190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779411315917969 × 2 - 1) × π
    -0.558822631835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.75559307478532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60175190} λ = -0.60175190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75559307478532))-π/2
    2×atan(0.172804725769102)-π/2
    2×0.171114833688962-π/2
    0.342229667377924-1.57079632675     		φ = -1.22856666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60175190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.477844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22856666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.391684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52983 KachelY 102159 -0.60175190 -1.22856666 -34.477844 -70.391684
    Oben rechts KachelX + 1 52984 KachelY 102159 -0.60170396 -1.22856666 -34.475097 -70.391684
    Unten links KachelX 52983 KachelY + 1 102160 -0.60175190 -1.22858275 -34.477844 -70.392606
    Unten rechts KachelX + 1 52984 KachelY + 1 102160 -0.60170396 -1.22858275 -34.475097 -70.392606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22856666--1.22858275) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dl = 102.509389999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22856666--1.22858275) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dr = 102.509389999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60175190--0.60170396) × cos(-1.22856666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335588290221743 × 6371000     		do = 102.497301876243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60175190--0.60170396) × cos(-1.22858275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335573133257393 × 6371000     		du = 102.492672549191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22856666)-sin(-1.22858275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335588290221743-0.335573133257393)×R²
    abs(-0.60170396--0.60175190)×1.51569643495608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51569643495608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51569643495608e-05×40589641000000     		ar = 10506.6986173891m²