Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52982 / 102158
↖ ↑ ↗
← S 70.390763°
W 34.480591°		 ← 102.50 m → S 70.390763°
W 34.477844°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 70.391684°
W 34.480591°		 ← 102.50 m →
10 507 m²		 S 70.391684°
W 34.477844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404224395751953 y=0.779407501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404224395751953 × 217)
    floor (0.404224395751953 × 131072)
    floor (52982.5)     		tx = 52982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779407501220703 × 217)
    floor (0.779407501220703 × 131072)
    floor (102158.5)     		ty = 102158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52982 / 102158 ti = "17/52982/102158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52982/102158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52982 ÷ 217
    52982 ÷ 131072     		x = 0.404220581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102158 ÷ 217
    102158 ÷ 131072     		y = 0.779403686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404220581054688 × 2 - 1) × π
    -0.191558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60179984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779403686523438 × 2 - 1) × π
    -0.558807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7555451378857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60179984} λ = -0.60179984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7555451378857))-π/2
    2×atan(0.172813009690446)-π/2
    2×0.171122877401679-π/2
    0.342245754803358-1.57079632675     		φ = -1.22855057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60179984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.480591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22855057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.390763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52982 KachelY 102158 -0.60179984 -1.22855057 -34.480591 -70.390763
    Oben rechts KachelX + 1 52983 KachelY 102158 -0.60175190 -1.22855057 -34.477844 -70.390763
    Unten links KachelX 52982 KachelY + 1 102159 -0.60179984 -1.22856666 -34.480591 -70.391684
    Unten rechts KachelX + 1 52983 KachelY + 1 102159 -0.60175190 -1.22856666 -34.477844 -70.391684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22855057--1.22856666) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dl = 102.509390000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22855057--1.22856666) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dr = 102.509390000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60179984--0.60175190) × cos(-1.22855057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335603447099213 × 6371000     		do = 102.501931176761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60179984--0.60175190) × cos(-1.22856666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335588290221743 × 6371000     		du = 102.497301876243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22855057)-sin(-1.22856666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335603447099213-0.335588290221743)×R²
    abs(-0.60175190--0.60179984)×1.51568774699462e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51568774699462e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51568774699462e-05×40589641000000     		ar = 10507.1731658596m²