Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52980 / 102181
↖ ↑ ↗
← S 70.411952°
W 34.486084°		 ← 102.40 m → S 70.411952°
W 34.483337°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
S 70.412873°
W 34.486084°		 ← 102.39 m →
10 483 m²		 S 70.412873°
W 34.483337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404209136962891 y=0.779582977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404209136962891 × 217)
    floor (0.404209136962891 × 131072)
    floor (52980.5)     		tx = 52980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779582977294922 × 217)
    floor (0.779582977294922 × 131072)
    floor (102181.5)     		ty = 102181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52980 / 102181 ti = "17/52980/102181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52980/102181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52980 ÷ 217
    52980 ÷ 131072     		x = 0.404205322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102181 ÷ 217
    102181 ÷ 131072     		y = 0.779579162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.19158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60189571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779579162597656 × 2 - 1) × π
    -0.559158325195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.75664768657696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60189571} λ = -0.60189571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75664768657696))-π/2
    2×atan(0.172622579931111)-π/2
    2×0.170937963878878-π/2
    0.341875927757756-1.57079632675     		φ = -1.22892040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60189571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.486084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22892040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.411952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52980 KachelY 102181 -0.60189571 -1.22892040 -34.486084 -70.411952
    Oben rechts KachelX + 1 52981 KachelY 102181 -0.60184777 -1.22892040 -34.483337 -70.411952
    Unten links KachelX 52980 KachelY + 1 102182 -0.60189571 -1.22893647 -34.486084 -70.412873
    Unten rechts KachelX + 1 52981 KachelY + 1 102182 -0.60184777 -1.22893647 -34.483337 -70.412873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22892040--1.22893647) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22892040--1.22893647) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60189571--0.60184777) × cos(-1.22892040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335255043054351 × 6371000     		do = 102.39551961354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60189571--0.60184777) × cos(-1.22893647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335239903023589 × 6371000     		du = 102.390895458441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22892040)-sin(-1.22893647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335255043054351-0.335239903023589)×R²
    abs(-0.60184777--0.60189571)×1.51400307621952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51400307621952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51400307621952e-05×40589641000000     		ar = 10483.2183023224m²