Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5298 / 2798
↖ ↑ ↗
← N 81.547390°
W121.794434°		 ← 179.57 m → N 81.547390°
W121.783447°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
N 81.545775°
W121.794434°		 ← 179.60 m →
32 254 m²		 N 81.545775°
W121.783447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161697387695312 y=0.0854034423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161697387695312 × 215)
    floor (0.161697387695312 × 32768)
    floor (5298.5)     		tx = 5298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0854034423828125 × 215)
    floor (0.0854034423828125 × 32768)
    floor (2798.5)     		ty = 2798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5298 / 2798 ti = "15/5298/2798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5298/2798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5298 ÷ 215
    5298 ÷ 32768     		x = 0.16168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2798 ÷ 215
    2798 ÷ 32768     		y = 0.08538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.6766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12571388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08538818359375 × 2 - 1) × π
    0.8292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60508287295233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12571388} λ = -2.12571388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60508287295233))-π/2
    2×atan(13.5323467218042)-π/2
    2×1.49703338639855-π/2
    2.99406677279709-1.57079632675     		φ = 1.42327045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12571388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.794434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42327045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.547390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5298 KachelY 2798 -2.12571388 1.42327045 -121.794434 81.547390
    Oben rechts KachelX + 1 5299 KachelY 2798 -2.12552213 1.42327045 -121.783447 81.547390
    Unten links KachelX 5298 KachelY + 1 2799 -2.12571388 1.42324226 -121.794434 81.545775
    Unten rechts KachelX + 1 5299 KachelY + 1 2799 -2.12552213 1.42324226 -121.783447 81.545775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42327045-1.42324226) × R
    2.81899999998725e-05 × 6371000     		dl = 179.598489999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42327045-1.42324226) × R
    2.81899999998725e-05 × 6371000     		dr = 179.598489999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12571388--2.12552213) × cos(1.42327045) × R
    0.000191750000000379 × 0.146991336124421 × 6371000     		do = 179.57038561989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12571388--2.12552213) × cos(1.42324226) × R
    0.000191750000000379 × 0.14701921986002 × 6371000     		du = 179.604449485735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42327045)-sin(1.42324226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146991336124421-0.14701921986002)×R²
    abs(-2.12552213--2.12571388)×2.78837355988937e-05×R²
    0.000191750000000379×2.78837355988937e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.78837355988937e-05×40589641000000     		ar = 32253.6290178542m²