Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52978 / 102178
↖ ↑ ↗
← S 70.409189°
W 34.491577°		 ← 102.41 m → S 70.409189°
W 34.488831°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
S 70.410111°
W 34.491577°		 ← 102.40 m →
10 491 m²		 S 70.410111°
W 34.488831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404193878173828 y=0.779560089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404193878173828 × 217)
    floor (0.404193878173828 × 131072)
    floor (52978.5)     		tx = 52978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779560089111328 × 217)
    floor (0.779560089111328 × 131072)
    floor (102178.5)     		ty = 102178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52978 / 102178 ti = "17/52978/102178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52978/102178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52978 ÷ 217
    52978 ÷ 131072     		x = 0.404190063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102178 ÷ 217
    102178 ÷ 131072     		y = 0.779556274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404190063476562 × 2 - 1) × π
    -0.191619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60199159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779556274414062 × 2 - 1) × π
    -0.559112548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7565038758781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60199159} λ = -0.60199159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7565038758781))-π/2
    2×atan(0.172647406690104)-π/2
    2×0.170962072143106-π/2
    0.341924144286213-1.57079632675     		φ = -1.22887218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60199159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.491577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22887218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.409189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52978 KachelY 102178 -0.60199159 -1.22887218 -34.491577 -70.409189
    Oben rechts KachelX + 1 52979 KachelY 102178 -0.60194365 -1.22887218 -34.488831 -70.409189
    Unten links KachelX 52978 KachelY + 1 102179 -0.60199159 -1.22888826 -34.491577 -70.410111
    Unten rechts KachelX + 1 52979 KachelY + 1 102179 -0.60194365 -1.22888826 -34.488831 -70.410111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22887218--1.22888826) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22887218--1.22888826) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60199159--0.60194365) × cos(-1.22887218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335300472048267 × 6371000     		do = 102.409394797624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60199159--0.60194365) × cos(-1.22888826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335285322856138 × 6371000     		du = 102.404767844408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22887218)-sin(-1.22888826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335300472048267-0.335285322856138)×R²
    abs(-0.60194365--0.60199159)×1.5149192129138e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5149192129138e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5149192129138e-05×40589641000000     		ar = 10491.1630830261m²