Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52975 / 102163
↖ ↑ ↗
← S 70.395371°
W 34.499817°		 ← 102.48 m → S 70.395371°
W 34.497070°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 70.396293°
W 34.499817°		 ← 102.47 m →
10 505 m²		 S 70.396293°
W 34.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404170989990234 y=0.779445648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404170989990234 × 217)
    floor (0.404170989990234 × 131072)
    floor (52975.5)     		tx = 52975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779445648193359 × 217)
    floor (0.779445648193359 × 131072)
    floor (102163.5)     		ty = 102163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52975 / 102163 ti = "17/52975/102163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52975/102163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52975 ÷ 217
    52975 ÷ 131072     		x = 0.404167175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102163 ÷ 217
    102163 ÷ 131072     		y = 0.779441833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404167175292969 × 2 - 1) × π
    -0.191665649414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.60213540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779441833496094 × 2 - 1) × π
    -0.558883666992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.7557848223838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60213540} λ = -0.60213540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7557848223838))-π/2
    2×atan(0.172771594054494)-π/2
    2×0.171082662470165-π/2
    0.34216532494033-1.57079632675     		φ = -1.22863100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60213540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.499817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22863100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.395371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52975 KachelY 102163 -0.60213540 -1.22863100 -34.499817 -70.395371
    Oben rechts KachelX + 1 52976 KachelY 102163 -0.60208746 -1.22863100 -34.497070 -70.395371
    Unten links KachelX 52975 KachelY + 1 102164 -0.60213540 -1.22864709 -34.499817 -70.396293
    Unten rechts KachelX + 1 52976 KachelY + 1 102164 -0.60208746 -1.22864709 -34.497070 -70.396293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22863100--1.22864709) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dl = 102.509389999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22863100--1.22864709) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dr = 102.509389999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60213540--0.60208746) × cos(-1.22863100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335527680683711 × 6371000     		do = 102.478790163239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60213540--0.60208746) × cos(-1.22864709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33551252337199 × 6371000     		du = 102.47416073009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22863100)-sin(-1.22864709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335527680683711-0.33551252337199)×R²
    abs(-0.60208746--0.60213540)×1.51573117215809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51573117215809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51573117215809e-05×40589641000000     		ar = 10504.8009875737m²