Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52974 / 94345
↖ ↑ ↗
← S 61.784812°
W 34.502563°		 ← 144.37 m → S 61.784812°
W 34.499817°		 →
↑
144.37 m
↓
↑
144.37 m
↓
S 61.786110°
W 34.502563°		 ← 144.36 m →
20 842 m²		 S 61.786110°
W 34.499817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404163360595703 y=0.719799041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404163360595703 × 217)
    floor (0.404163360595703 × 131072)
    floor (52974.5)     		tx = 52974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719799041748047 × 217)
    floor (0.719799041748047 × 131072)
    floor (94345.5)     		ty = 94345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52974 / 94345 ti = "17/52974/94345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52974/94345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52974 ÷ 217
    52974 ÷ 131072     		x = 0.404159545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94345 ÷ 217
    94345 ÷ 131072     		y = 0.719795227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404159545898438 × 2 - 1) × π
    -0.191680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60218333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719795227050781 × 2 - 1) × π
    -0.439590454101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.3810141411542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60218333} λ = -0.60218333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3810141411542))-π/2
    2×atan(0.251323546223904)-π/2
    2×0.246223965231339-π/2
    0.492447930462678-1.57079632675     		φ = -1.07834840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60218333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.502563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07834840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.784812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52974 KachelY 94345 -0.60218333 -1.07834840 -34.502563 -61.784812
    Oben rechts KachelX + 1 52975 KachelY 94345 -0.60213540 -1.07834840 -34.499817 -61.784812
    Unten links KachelX 52974 KachelY + 1 94346 -0.60218333 -1.07837106 -34.502563 -61.786110
    Unten rechts KachelX + 1 52975 KachelY + 1 94346 -0.60213540 -1.07837106 -34.499817 -61.786110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07834840--1.07837106) × R
    2.26599999999522e-05 × 6371000     		dl = 144.366859999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07834840--1.07837106) × R
    2.26599999999522e-05 × 6371000     		dr = 144.366859999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60218333--0.60213540) × cos(-1.07834840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.472784362184858 × 6371000     		do = 144.370392589112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60218333--0.60213540) × cos(-1.07837106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.472764394566408 × 6371000     		du = 144.364295236608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07834840)-sin(-1.07837106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472784362184858-0.472764394566408)×R²
    abs(-0.60213540--0.60218333)×1.99676184496345e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99676184496345e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99676184496345e-05×40589641000000     		ar = 20841.8601280394m²