Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52971 / 102189
↖ ↑ ↗
← S 70.419317°
W 34.510803°		 ← 102.34 m → S 70.419317°
W 34.508057°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
S 70.420238°
W 34.510803°		 ← 102.33 m →
10 477 m²		 S 70.420238°
W 34.508057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404140472412109 y=0.779644012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404140472412109 × 217)
    floor (0.404140472412109 × 131072)
    floor (52971.5)     		tx = 52971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779644012451172 × 217)
    floor (0.779644012451172 × 131072)
    floor (102189.5)     		ty = 102189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52971 / 102189 ti = "17/52971/102189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52971/102189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52971 ÷ 217
    52971 ÷ 131072     		x = 0.404136657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102189 ÷ 217
    102189 ÷ 131072     		y = 0.779640197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404136657714844 × 2 - 1) × π
    -0.191726684570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.60232714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779640197753906 × 2 - 1) × π
    -0.559280395507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75703118177392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60232714} λ = -0.60232714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75703118177392))-π/2
    2×atan(0.172556392692875)-π/2
    2×0.170873691141109-π/2
    0.341747382282218-1.57079632675     		φ = -1.22904894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60232714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.510803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22904894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.419317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52971 KachelY 102189 -0.60232714 -1.22904894 -34.510803 -70.419317
    Oben rechts KachelX + 1 52972 KachelY 102189 -0.60227921 -1.22904894 -34.508057 -70.419317
    Unten links KachelX 52971 KachelY + 1 102190 -0.60232714 -1.22906501 -34.510803 -70.420238
    Unten rechts KachelX + 1 52972 KachelY + 1 102190 -0.60227921 -1.22906501 -34.508057 -70.420238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22904894--1.22906501) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22904894--1.22906501) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60232714--0.60227921) × cos(-1.22904894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335133939227811 × 6371000     		do = 102.337180004564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60232714--0.60227921) × cos(-1.22906501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335118798504674 × 6371000     		du = 102.332556602611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22904894)-sin(-1.22906501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335133939227811-0.335118798504674)×R²
    abs(-0.60227921--0.60232714)×1.51407231369638e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51407231369638e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51407231369638e-05×40589641000000     		ar = 10477.2454168429m²