Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52969 / 94391
↖ ↑ ↗
← S 61.844487°
W 34.516297°		 ← 144.12 m → S 61.844487°
W 34.513550°		 →
↑
144.11 m
↓
↑
144.11 m
↓
S 61.845783°
W 34.516297°		 ← 144.11 m →
20 769 m²		 S 61.845783°
W 34.513550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404125213623047 y=0.720149993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404125213623047 × 217)
    floor (0.404125213623047 × 131072)
    floor (52969.5)     		tx = 52969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720149993896484 × 217)
    floor (0.720149993896484 × 131072)
    floor (94391.5)     		ty = 94391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52969 / 94391 ti = "17/52969/94391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52969/94391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52969 ÷ 217
    52969 ÷ 131072     		x = 0.404121398925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94391 ÷ 217
    94391 ÷ 131072     		y = 0.720146179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404121398925781 × 2 - 1) × π
    -0.191757202148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.60242302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720146179199219 × 2 - 1) × π
    -0.440292358398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.38321923853672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60242302} λ = -0.60242302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38321923853672))-π/2
    2×atan(0.250769963905734)-π/2
    2×0.245703203647795-π/2
    0.491406407295589-1.57079632675     		φ = -1.07938992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60242302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.516297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07938992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.844487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52969 KachelY 94391 -0.60242302 -1.07938992 -34.516297 -61.844487
    Oben rechts KachelX + 1 52970 KachelY 94391 -0.60237508 -1.07938992 -34.513550 -61.844487
    Unten links KachelX 52969 KachelY + 1 94392 -0.60242302 -1.07941254 -34.516297 -61.845783
    Unten rechts KachelX + 1 52970 KachelY + 1 94392 -0.60237508 -1.07941254 -34.513550 -61.845783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07938992--1.07941254) × R
    2.26200000001953e-05 × 6371000     		dl = 144.112020001244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07938992--1.07941254) × R
    2.26200000001953e-05 × 6371000     		dr = 144.112020001244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60242302--0.60237508) × cos(-1.07938992) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.471866341245545 × 6371000     		do = 144.120126456252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60242302--0.60237508) × cos(-1.07941254) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.471846397747284 × 6371000     		du = 144.114035198538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07938992)-sin(-1.07941254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471866341245545-0.471846397747284)×R²
    abs(-0.60237508--0.60242302)×1.99434982606217e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.99434982606217e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.99434982606217e-05×40589641000000     		ar = 20769.0036355327m²