Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52968 / 94393
↖ ↑ ↗
← S 61.847079°
W 34.519043°		 ← 144.08 m → S 61.847079°
W 34.516297°		 →
↑
144.05 m
↓
↑
144.05 m
↓
S 61.848374°
W 34.519043°		 ← 144.07 m →
20 754 m²		 S 61.848374°
W 34.516297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404117584228516 y=0.720165252685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404117584228516 × 217)
    floor (0.404117584228516 × 131072)
    floor (52968.5)     		tx = 52968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720165252685547 × 217)
    floor (0.720165252685547 × 131072)
    floor (94393.5)     		ty = 94393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52968 / 94393 ti = "17/52968/94393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52968/94393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52968 ÷ 217
    52968 ÷ 131072     		x = 0.40411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94393 ÷ 217
    94393 ÷ 131072     		y = 0.720161437988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.1917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60247095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720161437988281 × 2 - 1) × π
    -0.440322875976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.38331511233596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60247095} λ = -0.60247095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38331511233596))-π/2
    2×atan(0.250745922789034)-π/2
    2×0.245680584794336-π/2
    0.491361169588671-1.57079632675     		φ = -1.07943516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60247095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.519043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07943516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.847079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52968 KachelY 94393 -0.60247095 -1.07943516 -34.519043 -61.847079
    Oben rechts KachelX + 1 52969 KachelY 94393 -0.60242302 -1.07943516 -34.516297 -61.847079
    Unten links KachelX 52968 KachelY + 1 94394 -0.60247095 -1.07945777 -34.519043 -61.848374
    Unten rechts KachelX + 1 52969 KachelY + 1 94394 -0.60242302 -1.07945777 -34.516297 -61.848374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07943516--1.07945777) × R
    2.2610000000034e-05 × 6371000     		dl = 144.048310000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07943516--1.07945777) × R
    2.2610000000034e-05 × 6371000     		dr = 144.048310000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60247095--0.60242302) × cos(-1.07943516) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.471826454007597 × 6371000     		do = 144.077883803216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60247095--0.60242302) × cos(-1.07945777) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.471806518843514 × 6371000     		du = 144.071796361043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07943516)-sin(-1.07945777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471826454007597-0.471806518843514)×R²
    abs(-0.60242302--0.60247095)×1.99351640831624e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.99351640831624e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.99351640831624e-05×40589641000000     		ar = 20753.7372282275m²