Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52968 / 22474
↖ ↑ ↗
← N 49.117029°
E110.961914°		 ← 399.81 m → N 49.117029°
E110.967407°		 →
↑
399.84 m
↓
↑
399.84 m
↓
N 49.113433°
E110.961914°		 ← 399.84 m →
159 868 m²		 N 49.113433°
E110.967407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808235168457031 y=0.342933654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808235168457031 × 216)
    floor (0.808235168457031 × 65536)
    floor (52968.5)     		tx = 52968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342933654785156 × 216)
    floor (0.342933654785156 × 65536)
    floor (22474.5)     		ty = 22474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52968 / 22474 ti = "16/52968/22474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52968/22474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52968 ÷ 216
    52968 ÷ 65536     		x = 0.8082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22474 ÷ 216
    22474 ÷ 65536     		y = 0.342926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8082275390625 × 2 - 1) × π
    0.616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93665074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342926025390625 × 2 - 1) × π
    0.31414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.986924889377716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93665074} λ = 1.93665074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986924889377716))-π/2
    2×atan(2.68297134017061)-π/2
    2×1.21402510116785-π/2
    2.4280502023357-1.57079632675     		φ = 0.85725388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93665074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85725388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.117029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52968 KachelY 22474 1.93665074 0.85725388 110.961914 49.117029
    Oben rechts KachelX + 1 52969 KachelY 22474 1.93674662 0.85725388 110.967407 49.117029
    Unten links KachelX 52968 KachelY + 1 22475 1.93665074 0.85719112 110.961914 49.113433
    Unten rechts KachelX + 1 52969 KachelY + 1 22475 1.93674662 0.85719112 110.967407 49.113433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85725388-0.85719112) × R
    6.27600000000506e-05 × 6371000     		dl = 399.843960000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85725388-0.85719112) × R
    6.27600000000506e-05 × 6371000     		dr = 399.843960000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93665074-1.93674662) × cos(0.85725388) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.654516132096147 × 6371000     		do = 399.812147975471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93665074-1.93674662) × cos(0.85719112) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.654563580381849 × 6371000     		du = 399.841131831015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85725388)-sin(0.85719112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654516132096147-0.654563580381849)×R²
    abs(1.93674662-1.93665074)×4.74482857020231e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.74482857020231e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.74482857020231e-05×40589641000000     		ar = 159868.267065327m²