Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52967 / 11707
↖ ↑ ↗
← N 81.336913°
W 34.521789°		 ← 46 m → N 81.336913°
W 34.519043°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.336499°
W 34.521789°		 ← 46.01 m →
2 119 m²		 N 81.336499°
W 34.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404109954833984 y=0.0893211364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404109954833984 × 217)
    floor (0.404109954833984 × 131072)
    floor (52967.5)     		tx = 52967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0893211364746094 × 217)
    floor (0.0893211364746094 × 131072)
    floor (11707.5)     		ty = 11707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52967 / 11707 ti = "17/52967/11707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52967/11707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52967 ÷ 217
    52967 ÷ 131072     		x = 0.404106140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11707 ÷ 217
    11707 ÷ 131072     		y = 0.0893173217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404106140136719 × 2 - 1) × π
    -0.191787719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.60251889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0893173217773438 × 2 - 1) × π
    0.821365356445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.580395369648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60251889} λ = -0.60251889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.580395369648))-π/2
    2×atan(13.2023569391327)-π/2
    2×1.49519663094886-π/2
    2.99039326189772-1.57079632675     		φ = 1.41959694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60251889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.521789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41959694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.336913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52967 KachelY 11707 -0.60251889 1.41959694 -34.521789 81.336913
    Oben rechts KachelX + 1 52968 KachelY 11707 -0.60247095 1.41959694 -34.519043 81.336913
    Unten links KachelX 52967 KachelY + 1 11708 -0.60251889 1.41958971 -34.521789 81.336499
    Unten rechts KachelX + 1 52968 KachelY + 1 11708 -0.60247095 1.41958971 -34.519043 81.336499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41959694-1.41958971) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41959694-1.41958971) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60251889--0.60247095) × cos(1.41959694) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.150623943677815 × 6371000     		do = 46.0044294595912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60251889--0.60247095) × cos(1.41958971) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.150631091187767 × 6371000     		du = 46.0066124931076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41959694)-sin(1.41958971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150623943677815-0.150631091187767)×R²
    abs(-0.60247095--0.60251889)×7.14750995237101e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.14750995237101e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.14750995237101e-06×40589641000000     		ar = 2119.12148908107m²