Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52967 / 102153
↖ ↑ ↗
← S 70.386153°
W 34.521789°		 ← 102.53 m → S 70.386153°
W 34.519043°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 70.387075°
W 34.521789°		 ← 102.52 m →
10 510 m²		 S 70.387075°
W 34.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404109954833984 y=0.779369354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404109954833984 × 217)
    floor (0.404109954833984 × 131072)
    floor (52967.5)     		tx = 52967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779369354248047 × 217)
    floor (0.779369354248047 × 131072)
    floor (102153.5)     		ty = 102153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52967 / 102153 ti = "17/52967/102153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52967/102153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52967 ÷ 217
    52967 ÷ 131072     		x = 0.404106140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102153 ÷ 217
    102153 ÷ 131072     		y = 0.779365539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404106140136719 × 2 - 1) × π
    -0.191787719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.60251889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779365539550781 × 2 - 1) × π
    -0.558731079101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.7553054533876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60251889} λ = -0.60251889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7553054533876))-π/2
    2×atan(0.172854435254273)-π/2
    2×0.171163101414091-π/2
    0.342326202828181-1.57079632675     		φ = -1.22847012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60251889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.521789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22847012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.386153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52967 KachelY 102153 -0.60251889 -1.22847012 -34.521789 -70.386153
    Oben rechts KachelX + 1 52968 KachelY 102153 -0.60247095 -1.22847012 -34.519043 -70.386153
    Unten links KachelX 52967 KachelY + 1 102154 -0.60251889 -1.22848621 -34.521789 -70.387075
    Unten rechts KachelX + 1 52968 KachelY + 1 102154 -0.60247095 -1.22848621 -34.519043 -70.387075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22847012--1.22848621) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dl = 102.509389999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22847012--1.22848621) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dr = 102.509389999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60251889--0.60247095) × cos(-1.22847012) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.335679230183227 × 6371000     		do = 102.525077281513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60251889--0.60247095) × cos(-1.22848621) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.335664073740215 × 6371000     		du = 102.52044811369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22847012)-sin(-1.22848621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335679230183227-0.335664073740215)×R²
    abs(-0.60247095--0.60251889)×1.51564430118101e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51564430118101e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51564430118101e-05×40589641000000     		ar = 10509.5458652455m²