Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52962 / 21595
↖ ↑ ↗
← N 52.177301°
E110.928955°		 ← 374.59 m → N 52.177301°
E110.934448°		 →
↑
374.61 m
↓
↑
374.61 m
↓
N 52.173932°
E110.928955°		 ← 374.61 m →
140 331 m²		 N 52.173932°
E110.934448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808143615722656 y=0.329521179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808143615722656 × 216)
    floor (0.808143615722656 × 65536)
    floor (52962.5)     		tx = 52962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329521179199219 × 216)
    floor (0.329521179199219 × 65536)
    floor (21595.5)     		ty = 21595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52962 / 21595 ti = "16/52962/21595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52962/21595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52962 ÷ 216
    52962 ÷ 65536     		x = 0.808135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21595 ÷ 216
    21595 ÷ 65536     		y = 0.329513549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808135986328125 × 2 - 1) × π
    0.61627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93607550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329513549804688 × 2 - 1) × π
    0.340972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07119795890977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93607550} λ = 1.93607550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07119795890977))-π/2
    2×atan(2.91887409759862)-π/2
    2×1.24073100624223-π/2
    2.48146201248446-1.57079632675     		φ = 0.91066569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93607550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.928955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91066569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.177301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52962 KachelY 21595 1.93607550 0.91066569 110.928955 52.177301
    Oben rechts KachelX + 1 52963 KachelY 21595 1.93617138 0.91066569 110.934448 52.177301
    Unten links KachelX 52962 KachelY + 1 21596 1.93607550 0.91060689 110.928955 52.173932
    Unten rechts KachelX + 1 52963 KachelY + 1 21596 1.93617138 0.91060689 110.934448 52.173932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91066569-0.91060689) × R
    5.88000000000255e-05 × 6371000     		dl = 374.614800000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91066569-0.91060689) × R
    5.88000000000255e-05 × 6371000     		dr = 374.614800000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93607550-1.93617138) × cos(0.91066569) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.613220048794539 × 6371000     		do = 374.586374371571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93607550-1.93617138) × cos(0.91060689) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.61326649456762 × 6371000     		du = 374.614745840797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91066569)-sin(0.91060689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613220048794539-0.61326649456762)×R²
    abs(1.93617138-1.93607550)×4.64457730807721e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.64457730807721e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.64457730807721e-05×40589641000000     		ar = 140330.913944658m²