Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52961 / 94367
↖ ↑ ↗
← S 61.813367°
W 34.538269°		 ← 144.24 m → S 61.813367°
W 34.535523°		 →
↑
144.24 m
↓
↑
144.24 m
↓
S 61.814664°
W 34.538269°		 ← 144.23 m →
20 804 m²		 S 61.814664°
W 34.535523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404064178466797 y=0.719966888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404064178466797 × 217)
    floor (0.404064178466797 × 131072)
    floor (52961.5)     		tx = 52961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719966888427734 × 217)
    floor (0.719966888427734 × 131072)
    floor (94367.5)     		ty = 94367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52961 / 94367 ti = "17/52961/94367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52961/94367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52961 ÷ 217
    52961 ÷ 131072     		x = 0.404060363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94367 ÷ 217
    94367 ÷ 131072     		y = 0.719963073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404060363769531 × 2 - 1) × π
    -0.191879272460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.60280651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719963073730469 × 2 - 1) × π
    -0.439926147460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.38206875294584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60280651} λ = -0.60280651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38206875294584))-π/2
    2×atan(0.251058637161203)-π/2
    2×0.245974779060722-π/2
    0.491949558121443-1.57079632675     		φ = -1.07884677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60280651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.538269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07884677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.813367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52961 KachelY 94367 -0.60280651 -1.07884677 -34.538269 -61.813367
    Oben rechts KachelX + 1 52962 KachelY 94367 -0.60275858 -1.07884677 -34.535523 -61.813367
    Unten links KachelX 52961 KachelY + 1 94368 -0.60280651 -1.07886941 -34.538269 -61.814664
    Unten rechts KachelX + 1 52962 KachelY + 1 94368 -0.60275858 -1.07886941 -34.535523 -61.814664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07884677--1.07886941) × R
    2.26400000000737e-05 × 6371000     		dl = 144.23944000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07884677--1.07886941) × R
    2.26400000000737e-05 × 6371000     		dr = 144.23944000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60280651--0.60275858) × cos(-1.07884677) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.472345150730873 × 6371000     		do = 144.23627408759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60280651--0.60275858) × cos(-1.07886941) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.472325195404319 × 6371000     		du = 144.230180488564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07884677)-sin(-1.07886941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472345150730873-0.472325195404319)×R²
    abs(-0.60275858--0.60280651)×1.99553265538555e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.99553265538555e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.99553265538555e-05×40589641000000     		ar = 20804.1199343769m²