Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52961 / 26081
↖ ↑ ↗
← N 34.447689°
E110.923462°		 ← 503.68 m → N 34.447689°
E110.928955°		 →
↑
503.75 m
↓
↑
503.75 m
↓
N 34.443158°
E110.923462°		 ← 503.71 m →
253 739 m²		 N 34.443158°
E110.928955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808128356933594 y=0.397972106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808128356933594 × 216)
    floor (0.808128356933594 × 65536)
    floor (52961.5)     		tx = 52961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.397972106933594 × 216)
    floor (0.397972106933594 × 65536)
    floor (26081.5)     		ty = 26081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52961 / 26081 ti = "16/52961/26081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52961/26081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52961 ÷ 216
    52961 ÷ 65536     		x = 0.808120727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26081 ÷ 216
    26081 ÷ 65536     		y = 0.397964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808120727539062 × 2 - 1) × π
    0.616241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93597963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.397964477539062 × 2 - 1) × π
    0.204071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.641108095518631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93597963} λ = 1.93597963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641108095518631))-π/2
    2×atan(1.89858352602003)-π/2
    2×1.08601095711785-π/2
    2.1720219142357-1.57079632675     		φ = 0.60122559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93597963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.923462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60122559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.447689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52961 KachelY 26081 1.93597963 0.60122559 110.923462 34.447689
    Oben rechts KachelX + 1 52962 KachelY 26081 1.93607550 0.60122559 110.928955 34.447689
    Unten links KachelX 52961 KachelY + 1 26082 1.93597963 0.60114652 110.923462 34.443158
    Unten rechts KachelX + 1 52962 KachelY + 1 26082 1.93607550 0.60114652 110.928955 34.443158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60122559-0.60114652) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dl = 503.754969999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60122559-0.60114652) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dr = 503.754969999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93597963-1.93607550) × cos(0.60122559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824642975057748 × 6371000     		do = 503.681843781676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93597963-1.93607550) × cos(0.60114652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824687698707791 × 6371000     		du = 503.709160440152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60122559)-sin(0.60114652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824642975057748-0.824687698707791)×R²
    abs(1.93607550-1.93597963)×4.47236500427106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47236500427106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47236500427106e-05×40589641000000     		ar = 253739.112687106m²