Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52960 / 102176
↖ ↑ ↗
← S 70.407347°
W 34.541016°		 ← 102.42 m → S 70.407347°
W 34.538269°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
S 70.408269°
W 34.541016°		 ← 102.41 m →
10 492 m²		 S 70.408269°
W 34.538269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404056549072266 y=0.779544830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404056549072266 × 217)
    floor (0.404056549072266 × 131072)
    floor (52960.5)     		tx = 52960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779544830322266 × 217)
    floor (0.779544830322266 × 131072)
    floor (102176.5)     		ty = 102176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52960 / 102176 ti = "17/52960/102176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52960/102176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52960 ÷ 217
    52960 ÷ 131072     		x = 0.404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102176 ÷ 217
    102176 ÷ 131072     		y = 0.779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.19189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60285445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.55908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75640800207886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60285445} λ = -0.60285445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75640800207886))-π/2
    2×atan(0.172663959846406)-π/2
    2×0.170978146133982-π/2
    0.341956292267964-1.57079632675     		φ = -1.22884003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60285445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.541016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22884003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.407347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52960 KachelY 102176 -0.60285445 -1.22884003 -34.541016 -70.407347
    Oben rechts KachelX + 1 52961 KachelY 102176 -0.60280651 -1.22884003 -34.538269 -70.407347
    Unten links KachelX 52960 KachelY + 1 102177 -0.60285445 -1.22885611 -34.541016 -70.408269
    Unten rechts KachelX + 1 52961 KachelY + 1 102177 -0.60280651 -1.22885611 -34.538269 -70.408269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22884003--1.22885611) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22884003--1.22885611) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60285445--0.60280651) × cos(-1.22884003) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.335330760751424 × 6371000     		do = 102.418645747437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60285445--0.60280651) × cos(-1.22885611) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.33531561173264 × 6371000     		du = 102.414018847164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22884003)-sin(-1.22885611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335330760751424-0.33531561173264)×R²
    abs(-0.60280651--0.60285445)×1.5149018784244e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5149018784244e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5149018784244e-05×40589641000000     		ar = 10492.1108053627m²